Etude de la durée de vie d'un kiwi

Page 1 sur 3 1, 2, 3  Suivant

Aller en bas

Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par Dlzlogic le Ven 21 Juil - 12:38

Pour le plaisir, j'ai numérisé la courbe en bâtons de la durée de vie sans vieillissement(sans être mangé) d'un Kiwi.

Comme on pouvait s'y attendre, c'est une courbe exponentielle.
Comme quoi, une bonne simulation correspond à la théorie.
Il y a lieu de noter que l'expression sans vieillissement peut se justifier pour un élément radioactif, un verre, mais pour un Kiwi, c'est pas sûr.

Dlzlogic

Messages : 1233
Date d'inscription : 04/07/2017
Age : 74
Localisation : Proville

Voir le profil de l'utilisateur http://www.dlzlogic.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par leon1789 le Ven 21 Juil - 15:23

Bonjour
Je pense qu'il serait bon de préciser ce que représentent les abscisses et ordonnées de ton graphe.
avatar
leon1789

Messages : 801
Date d'inscription : 11/07/2017

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par Dlzlogic le Ven 21 Juil - 16:08

Oui, tu as raison.
MIoe a écrit:En abscisse : le nombre de tirages effectués (ou nombre de jours) pour réaliser (E) (donc tirer les 5 kiwis "O")
En ordonnée : la fréquence Nk/N pour chaque nombre en abscisse.
/* histoire de Kiwi, durée de vie
*/
10 0.15
11 0.095
13 0.07
15 0.05
17 0.032
18.5 0.021
20 0.015
23 0.008
28 0.002

Mais en fait ce n'est pas vraiment utilisable pour un cas général. Ce qui m'intéressait c'était juste de voir que c'était bien exponentiel.
De temps en temps, bêtement, j'aime bien vérifier la théorie.

Dlzlogic

Messages : 1233
Date d'inscription : 04/07/2017
Age : 74
Localisation : Proville

Voir le profil de l'utilisateur http://www.dlzlogic.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par leon1789 le Ven 21 Juil - 17:13

Là, j'ai pas tout compris.

Je me pose bien des questions :
nombre de tirages de quoi ?
nombre de jours de quoi ?
qu'est que (E) ?
tu ne testes que 5 kiwis ?
la fréquence Nk/N de quoi ?
quelle théorie sur le kiwi ?
et anecdotiquement, qui est MIoe ?


avatar
leon1789

Messages : 801
Date d'inscription : 11/07/2017

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par Dlzlogic le Ven 21 Juil - 17:28

Bon, en fait il n'y a rien à comprendre ou à ne pas comprendre. Je fais référence à un défi posé sur MF. Le graphique était joli, une fois qu'il ne restait plus qu'un seul kiwi d'origine, on était dans le contexte de la durée de vie.
Naturellement, si j'avais min mon graphique jute en-dessous de celui de MJoe, ça aurait été clair.
Là, j'avais un graphique de quelqu'un d'autre, obtenu pas simulation, et c'était une occasion de vérifier la théorie de la durée de vie. Y'a pas à chercher plus loin.

Dlzlogic

Messages : 1233
Date d'inscription : 04/07/2017
Age : 74
Localisation : Proville

Voir le profil de l'utilisateur http://www.dlzlogic.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par leon1789 le Ven 21 Juil - 17:32

avatar
leon1789

Messages : 801
Date d'inscription : 11/07/2017

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par leon1789 le Ven 21 Juil - 17:47

Dlzlogic a écrit:Naturellement, si j'avais min mon graphique jute en-dessous de celui de MJoe, ça aurait été clair. 
En effet, le graphique de MJoe ne présente pas une loi exponentielle (car pendant les premiers jours, les fréquences montent).
Je n'ai pas l'impression du tout que l'énigme porte sur la notion mathématique de "durée de vie sans vieillissement".
Mais elle est amusante.
avatar
leon1789

Messages : 801
Date d'inscription : 11/07/2017

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par leon1789 le Sam 22 Juil - 10:57

L'exercice est amusant et il y a des choses à comprendre si on veut le résoudre (probas et algèbre linéaire).

La solution théorique de l'exercice est en fait cette fonction :

P(X = n) = (4/5)^(n-1) - 4 * (3/5)^(n-1) + 6 * (2/5)^(n-1) - 4 * (1/5)^(n-1)

où n est le numéro du jour où on prend le 5ième et dernier kiwi d'origine.

Cette fonction est une combinaison de 4 fonctions exponentielles.

Le vrai graphe (donné par MJoe) :


Dlzlogic,
ta fonction exponentielle 1.44 * exp(-0.23 * n) n'est qu'une approximation du terme dominant quand n est grand de la solution :
(4/5)^(n-1) = 1.25 * exp(-0.223 * n)
avatar
leon1789

Messages : 801
Date d'inscription : 11/07/2017

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par Dlzlogic le Sam 22 Juil - 11:29

Bonjour Léon,
Oui, c'est une fonction très intéressante pour 5 kiwi, mais je ne parlais que du cas du 5è kiwi qui attendais avec impatience le moment où il allait être mangé, et je voulais juste vérifier, seulement pour le plaisir, que l'observation faite par simulation correspondait bien, dans sa partie décroissante et approximativement à une exponentielle.

Dlzlogic

Messages : 1233
Date d'inscription : 04/07/2017
Age : 74
Localisation : Proville

Voir le profil de l'utilisateur http://www.dlzlogic.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par leon1789 le Sam 22 Juil - 11:31

Dlzlogic a écrit:Oui, c'est une fonction très intéressante pour 5 kiwi, mais je ne parlais que du cas du 5è kiwi qui attendais avec impatience le moment où il allait être mangé,
mais moi aussi...

Dlzlogic a écrit:
et je voulais juste vérifier, seulement pour le plaisir, que l'observation faite par simulation correspondait bien, dans sa partie décroissante et approximativement à une exponentielle.  
oui, je suis d'accord, cette exponentielle dominante étant (4/5)^(n-1)

Si tu refais une simulation avec 10 kiwis, tu devrais trouver approximativement (9/10)^(n-1) , je pense.
avatar
leon1789

Messages : 801
Date d'inscription : 11/07/2017

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par Dlzlogic le Sam 22 Juil - 11:45

Non, je ne me suis pas bien expliqué.
Je n'ai pas fait de simulation. J'ai vu une courbe qui m'a paru jolie, comme je suis curieux, j'ai voulu voir de quoi il s'agissait, réponse "dernier jours d'un kiwi", alors j'ai imprimé l'image, je l'ai scannée, puis mesuré quelques points de la partie descendante et calculé la régression linéaire de ces points. Tout ça sans aucune arrière pensée.

Dlzlogic

Messages : 1233
Date d'inscription : 04/07/2017
Age : 74
Localisation : Proville

Voir le profil de l'utilisateur http://www.dlzlogic.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par leon1789 le Sam 22 Juil - 11:46

Dlzlogic,

tu remarqueras que la probabilité maximale correspond au 8ième jour, la moyenne est 11.4 jours environ.

Tu vois une expérience où la moyenne n'est pas la valeur la plus probable. Smile
avatar
leon1789

Messages : 801
Date d'inscription : 11/07/2017

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par leon1789 le Sam 22 Juil - 11:47

Dlzlogic a écrit:Je n'ai pas fait de simulation.
ah, tu as pourtant écrit dans ton premier message :
Dlzlogic a écrit:Comme quoi, une bonne simulation correspond à la théorie.
je pensais que tu avais fait ce que tu disais...

Dlzlogic a écrit:j'ai imprimé l'image, je l'ai scannée, puis mesuré quelques points de la partie descendante et calculé la régression linéaire de ces points. 
ah ok, juste une régression, ce n'est donc pas une étude alors.
avatar
leon1789

Messages : 801
Date d'inscription : 11/07/2017

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par Dlzlogic le Sam 22 Juil - 12:27

Bon, je te réponds, mais je devrais pas.
Ce n'est pas moi qui ai fait la simulation.

Concernant ta remarque à propos de la moyenne, cette fonction de durée de vie est effectivement un piège. L'évènement étudié est "tel kiwi est-il encore dans la corbeille ?". C'est une variable de Bernoulli (Oui ou Non). C'est dans ce cas qu'intervient la médiane et non la moyenne.
Application classique aux lampes d'un grand magasin : chaque lampe a une durée de 1/2 vie de 2000 heures, le magasin comporte 1000 ampoules etc. Il n'y a pas à chercher si la loi de probabilité est marqué sur le culot, on connait la durée de 1/2 vie.

Dlzlogic

Messages : 1233
Date d'inscription : 04/07/2017
Age : 74
Localisation : Proville

Voir le profil de l'utilisateur http://www.dlzlogic.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par leon1789 le Sam 22 Juil - 12:41

Dlzlogic a écrit:Ce n'est pas moi qui ai fait la simulation.
Mais de quelle simulation parles-tu ?

Dans la discussion sur l'autre forum, MJoe ne présente pas de simulation mais la solution théorique, son graphe, et des valeurs numériques.
EDIT : je me trompe : son graphe sort d'une simulation !

Dlzlogic a écrit:cette fonction de durée de vie est effectivement un piège.
mais non, il n'y a aucun piège... il faut juste comprendre, et ne pas prendre pour dogme des choses erronées.

Dlzlogic a écrit:Il n'y a pas à chercher si la loi de probabilité est marqué sur le culot, on connait la durée de 1/2 vie.
Oui, il n'y pas à chercher, car "on" connait... C'est toujours bon comme argument.


Dernière édition par leon1789 le Sam 22 Juil - 16:57, édité 1 fois
avatar
leon1789

Messages : 801
Date d'inscription : 11/07/2017

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par Dlzlogic le Sam 22 Juil - 12:55

Léon a écrit: Dlzlogic a écrit:
Il n'y a pas à chercher si la loi de probabilité est marqué sur le culot, on connait la durée de 1/2 vie.

Oui, il n'y pas à chercher, car "on" connait... C'est toujours bon comme argument.
Oui, "on" le cannait, parce que c'est marqué sur l'emballage, et certainement pas en tout petit comme le type de fonctionnement. Dans ce contexte, il n'est pas question de probabilité. On a voulu mettre des probabilités partout, même s'il n'y en a pas. Dans le cas présent, il s'agit de proportion, qui se résout par la bonne vieille "règle de trois".
Si au lieu de kiwi, il s'agissait de lapins, la question pourrait être quelle est la probabilité pour ce lapin (celui qui s'est fait bouffer un bout d'oreille par un renard) de vivre assez pour assurer sa descendance ?

Dlzlogic

Messages : 1233
Date d'inscription : 04/07/2017
Age : 74
Localisation : Proville

Voir le profil de l'utilisateur http://www.dlzlogic.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par leon1789 le Sam 22 Juil - 13:35

Dlzlogic a écrit:Oui, "on" le cannait, parce que c'est marqué sur l'emballage,
en effet, il y a génération spontanée de la formule sur l'emballage.

Dlzlogic a écrit:On a voulu mettre des probabilités partout, même s'il n'y en a pas.
c'est vrai, aucune probabilité : toutes les ampoules ont la même durée de vie, et en plus on la connait à l'avance !

Dlzlogic a écrit:Dans le cas présent, il s'agit de proportion, qui se résout par la bonne vieille "règle de trois".
Tu parles de l'exercice sur les kiwis ? une bonne vieille "règle de trois"... Montre nous cela s'il te plait.
avatar
leon1789

Messages : 801
Date d'inscription : 11/07/2017

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par Dlzlogic le Sam 22 Juil - 13:58

Essayons, s'il te plait, de rester corrects.
Concernant les ampoules, il est clair que ce n'est pas la loi exponentielle qui est strictement applicable, puisque une ampoule électrique ne "s'use que si l'on s'en sert".
Je suppose que pour évaluer la durée d'utilisation d'une ampoule, on en prend un certain nombre, on les laisse allumées, quand une claque, on la remplace. Au bout d'un certain temps, on fait les comptes : tant d'heures allumées, tant d'ampoules claquées, je suppose qu'on rajoute un ratio pour tenir compte de celles qui fonctionnent encore, et il ne suffit qu'à majorer un peu le nombre d'heures, ou arrondir au millier supérieur et le tour est joué.

Concernant la règle de trois, je parle naturellement de lampes électrique.

Dlzlogic

Messages : 1233
Date d'inscription : 04/07/2017
Age : 74
Localisation : Proville

Voir le profil de l'utilisateur http://www.dlzlogic.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par leon1789 le Sam 22 Juil - 14:24

Dlzlogic a écrit:Concernant les ampoules, il est clair que ce n'est pas la loi exponentielle qui est strictement applicable, puisque une ampoule électrique ne "s'use que si l'on s'en sert".
Pourquoi pas la loi exponentielle liée au temps d'éclairage ??

Dlzlogic a écrit:Je suppose que pour évaluer la durée d'utilisation d'une ampoule, on en prend un certain nombre, on les laisse allumées, quand une claque, on la remplace. Au bout d'un certain temps, on fait les comptes : tant d'heures allumées, tant d'ampoules claquées, je suppose qu'on rajoute un ratio pour tenir compte de celles qui fonctionnent encore, et il ne suffit qu'à majorer un peu le nombre d'heures, ou arrondir au millier supérieur et le tour est joué.
...sans connaitre la précision finale ?

Je dirais simplement : on constate la durée de vie d'un certain nombre d'ampoules, et on obtient une évaluation de la durée de vie par un intervalle de confiance lié à la loi exponentielle par exemple (ou par loi normale en utilisant le TCL)
avatar
leon1789

Messages : 801
Date d'inscription : 11/07/2017

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par Dlzlogic le Sam 22 Juil - 15:09

Léon a écrit:Je dirais simplement : on constate la durée de vie d'un certain nombre d'ampoules, et on obtient une évaluation de la durée de vie par un intervalle de confiance lié à la loi exponentielle par exemple (ou par loi normale en utilisant le TCL)

Ben, c'est là où nous ne sommes pas d'accord.
Si on prend 100 ampoules et qu'on mesure leur durée de vie, alors, la variable étudiée est un nombre d'heures, on peut en calculer la durée de vie moyenne, l'écart-type etc. c'est le TCL, c'est à dire l'application des probabilités. Mais là, manifestement, c'est "avec vieillissement", puisque la même ampoule, laissée dans sa boite n'a aucune raison de claquer.

Dans le cas de durée de vie sans vieillissement, l'application la plus importante est la longévité des déchets radioactifs. On a démontré, mais je ne sais pas comment, que la durée de 1/2 vie d'un tel élément suivait une fonction exponentielle. Ce n'est pas vraiment le temps qui est la variable, mais c'est de savoir si tel élément est encore actif ou non. Mais il est vrai que la transposition aux lampes électriques est tentante.

Il y a peut-être plusieurs méthodes pour arriver au résultat, ce qui est sûr est que ce résultat est unique et non pas "au choix".

Dlzlogic

Messages : 1233
Date d'inscription : 04/07/2017
Age : 74
Localisation : Proville

Voir le profil de l'utilisateur http://www.dlzlogic.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par leon1789 le Sam 22 Juil - 16:39

Dlzlogic a écrit:Si on prend 100 ampoules et qu'on mesure leur durée de vie, alors, la variable étudiée est un nombre d'heures, on peut en calculer la durée de vie moyenne, l'écart-type etc. c'est le TCL, c'est à dire l'application des probabilités.
oui, nous sommes bien d'accord.

Dlzlogic a écrit:
Mais là, manifestement, c'est "avec vieillissement", puisque la même ampoule, laissée dans sa boite n'a aucune raison de claquer.
"avec / sans vieillissement" au sens mathématique n'a rien à voir avec le fait de la laisser dans une boite. Peux-tu nous rappeler la définition d'une variable aléatoire "sans vieillissement" ? Tu en parles depuis le début donc cela ne devrait pas te poser problème.

Pour la même notion mathématique, on dit aussi "avec / sans mémoire". Mais ne pas me dire que l'ampoule ne peut pas se souvenir puisqu'elle n'a manifestement pas de mémoire (au sens neuronal), cela n'a rien à voir avec la notion mathématique sous-jacente... Smile

Mais je veux bien qu'on dise que la loi de probabilité doit être avec vieillissement. Dans ce cas, on ne prend pas la loi exponentielle, mais le TCL peut quand même s'appliqué à la loi de probabilité des ampoules.
avatar
leon1789

Messages : 801
Date d'inscription : 11/07/2017

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par Dlzlogic le Sam 22 Juil - 18:31

Bon, très nettement, tu cherches à ce que je me contredise.
Mais par honnêteté intellectuelle, je vais essayer de te répondre.
D'abord, la notion "sans/avec" mémoire est une invention des mathématiciens. Il est évident qu'un dé n'a pas de mémoire, pourtant la loi des grands nombres s'applique, ainsi que le TCL, contrairement à une expérience qui serait réalisée dans le cadre de la MQ.

Ce n'est pas l'ampoule qui se souvient de quoi que ce soit, simplement il y en a qui s'usent plus vite que d'autres, donc claquent plus vite que les autres. Les écarts à la moyenne suivent la loi normale, conformément au TCL. Ce n'est pas la probabilité d'une ampoule que l'on étudie, mail la liste résultat de l'expérience d'un grand nombre d'ampoules.

Quant à la fin de vie des particules radioactives, c'est un phénomène que je ne connais pas, je me souviens juste du résultat.

Relis les deux définitions de la loi de probabilité (Lévy et J.H.) je ne peux pas t'en dire mieux. Mais, comme je te l'ai dit, remplace "loi de probabilité" par "loi de proportion" et je pense que ce sera plus clair.

Pour moi, une variable aléatoire sans vieillissement est représentée par un élément qui passe forcément de l'état actif à l'état inactif sans aucune raison type "ancienneté". On sait que les particules radioactives finissent par devenir inactives, sans raison extérieure. Soit un nombre N de ces particules radioactives, au bout d'un certain temps, N/2 seront devenues inactives. Le calcul donne un fonction exponentielle. C'est pourquoi on parle de 1/2 vie des éléments radioactifs. J'ai lu dernièrement un autre exemple (théorique) les verres. De temps en temps, il y en a un qui se casse. La date où le dernier verre de la collection se cassera tend vers l'infini.

Dlzlogic

Messages : 1233
Date d'inscription : 04/07/2017
Age : 74
Localisation : Proville

Voir le profil de l'utilisateur http://www.dlzlogic.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par leon1789 le Sam 22 Juil - 19:32

Dlzlogic a écrit: Mais, comme je te l'ai dit, remplace "loi de probabilité" par "loi de proportion" et je pense que ce sera plus clair.
"loi de proportion" , c'est encore un de tes changements personnels de vocabulaire ?

Dlzlogic a écrit:Il est évident qu'un dé n'a pas de mémoire(...)
Pour moi, une variable aléatoire sans vieillissement est représentée par un élément qui passe forcément de l'état actif à l'état inactif sans aucune raison type "ancienneté".
Pour toi, je veux bien. Apparemment, tu parles de mémoire ou de vieillissement, de manière strictement biologico-mécanique...

Mais en maths, c'est très différent et assez simple, c'est directement lié aux probabilités : P(X>m+n | X>m) = P(X>n).
Ceux qui comprennent cette définition mathématique, voient à quel point ton affirmation sur le dé est absurde, au sens mathématique.

Puisque tu ne sais pas ce qu'est une variable aléatoire sans vieillissement (ou sans mémoire), il est inutile de parler davantage, mais il te faut lire et comprendre :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Perte_de_m%C3%A9moire_(probabilit%C3%A9s)
http://ressources.unisciel.fr/ramses/519-21_probabilites/co/fe901_12.html
http://gerard.tisseau.free.fr/DocumentsExemples/dureeDeVieSansVieillissement.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=wPt9MPgOh5I
etc.
avatar
leon1789

Messages : 801
Date d'inscription : 11/07/2017

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par Dlzlogic le Sam 22 Juil - 21:45

Bon, bonne tentative, mais pas vraiment crédible.
La "mémoire" des dés est strictement liée à la loi des grands nombres.
Le vieillissement des lampes est un phénomène physique incontournable.
Demain je vais lire les liens que tu me listes.
Et je vais aussi te donner un calcul qui répondra à certaines de tes préoccupations.

Quand je te parlais de remplacer ton expression "loi de probabilité" par "loi de proportion", c'était pour t'aider à comprendre ce dont il s'agit. La loi de probabilité est définie par Lévy et J.H. as-tu relu leurs définitions. Les "lois de proportion" dont tu parles n'ont rien à voir avec les probabilités.
Par simple curiosité, as-tu écouté la conférence citée par Dattier sur la thermodynamique, c'est tout de même assez éclairant.

Dlzlogic

Messages : 1233
Date d'inscription : 04/07/2017
Age : 74
Localisation : Proville

Voir le profil de l'utilisateur http://www.dlzlogic.com

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par leon1789 le Dim 23 Juil - 7:34

Dlzlogic a écrit:Bon, bonne tentative, mais pas vraiment crédible.
Oui, c'était une tentative pour te montrer la définition mathématique d'une variable aléatoire sans vieillissement/mémoire.
<< peine perdue ! >> comme d'hab. Tu manques de bonne volonté !

Dlzlogic a écrit:Remplacer ton expression "loi de probabilité" par "loi de proportion",  La loi de probabilité est définie par Lévy et J.H. as-tu relu leurs définitions.
Les "lois de proportion" dont tu parles n'ont rien à voir avec les probabilités.
Ah... tu tentes de renverser les rôles... C'est pas très correct !

Je ne parle pas de "loi de proportion", c'est toi qui a introduit ce binz dans l'histoire.

"loi de probabilité" n'est pas mon expression, c'est une expression officielle !

Cette notion est définie dans tous les livres de probas-stat, ne t'inquiète pas je la comprends, contrairement à toi :
http://dattier.yoo7.com/t69p75-probabilites-tirage-de-boules#237
http://dattier.yoo7.com/t71-pourquoi-vouloir-calculer-un-intervalle-de-confiance-pour-l-ecart-type#273

Dlzlogic a écrit:
La "mémoire" des dés est strictement liée à la loi des grands nombres.
Mort de rire.

Tu ne fais pas de mathématiques, ça se voit.


Dernière édition par leon1789 le Dim 23 Juil - 7:45, édité 1 fois (Raison : th)
avatar
leon1789

Messages : 801
Date d'inscription : 11/07/2017

Voir le profil de l'utilisateur

Revenir en haut Aller en bas

Re: Etude de la durée de vie d'un kiwi

Message par Contenu sponsorisé


Contenu sponsorisé


Revenir en haut Aller en bas

Page 1 sur 3 1, 2, 3  Suivant

Revenir en haut


 
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum