Un résultat de topologie générale peu connu

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Un résultat de topologie générale peu connu

Message par Dattier le Jeu 22 Juin - 7:22

Salut,

$$n>1,f \text{ fonction continue de }\mathbb R^n \text{ dans } \mathbb R.\text{ Montrer que pour tout c réel, card}(f^{-1}(\{c\}))=\text{card}(\mathbb R).$$

Cordialement.

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Re: Un résultat de topologie générale peu connu

Message par Taboulac le Ven 27 Oct - 13:12

C'est un peu gênant qu'il n'y ait pas de rendu latex.

C'est faux, prendre f(x) = |x|². Alors f^{-1}(0) est de cardinal 1.

L'image réciproque de c déconnecte ℝ^n à condition que c soit dans l'intérieur de l'image de f. En effet, si A ≔ ℝ^n ⧵ f^{-1}(c) était connexe, alors son image le serait. On prend deux points de A qui ne sont pas connecté par un arc. On peut trouver une famille d'arcs disjoints joignant ces deux points, et chacun d'eux doit contenir un point de f^{-1}(c).

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Re: Un résultat de topologie générale peu connu

Message par Dattier le Ven 27 Oct - 13:18

Bonjour et bienvenu,

Pour écrire au format latex : 

http://dattier.yoo7.com/t1-comment-publier-des-formules-en-latex

Bravo, tu as juste oublié de préciser qu'il y a un nombre d'arcs possibles (tous disjoints) en nombre au moins équipotent aux réels, en effet à chaque point I de la médiatrice (d'un point A tel que f(A)>c et B  tel que f(B)<c) on peut associer le chemin [AI],[IB], qui ne se rejoignent qu'en A et B (la médiatrice existe car n>1). 

Bonne journée.

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Re: Un résultat de topologie générale peu connu

Message par Dattier le Ven 27 Oct - 13:38

Taboulac a écrit:C'est faux, prendre f(x) = |x|². Alors f^{-1}(0) est de cardinal 1.
C'est exact j'ai oublié de préciser que 

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Re: Un résultat de topologie générale peu connu

Message par Mathématique le Dim 28 Jan - 23:02

Salut, un début : si il existe un f^{-1}(\{c\}) de cardinal fini, alors C = R^n - f^{-1}(c) est connexe car n \ge 2. Donc ]-oo, c[ \cup ]c, +oo[ est l'image de C par f donc est connexe car f continu. Absurde. Pour le cas où la fibre est dénombrable : si elle est discrète le même argument marche. Elle ne peut pas être dense car sinon l'image par f de R^n serait egal à c différent de R. Je réfléchis aux autres cas, c'est juste un début d'idée. Intéressant comme résultat.

Question avant de continuer : y a t il dans R^n d'autre cardinaux que R, N et les finis?
Je m'y connais mal là dedans.

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Re: Un résultat de topologie générale peu connu

Message par Dattier le Dim 28 Jan - 23:06

Utilisateur a écrit:Question avant de continuer : y a t il dans R^n d'autre cardinaux que R, N et les finis?
Je m'y connais mal là dedans.  
Salut,

Cela dépend si tu supposes, l'hypothése du continu ou non, en effet dans ZFC cela est indécidable.
PS : mais ici on n'a pas besoin de rentrer dans de telle considération.

Cordialement.

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Re: Un résultat de topologie générale peu connu

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