Signification des termes

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Signification des termes

Message par Dlzlogic le Sam 13 Oct - 15:41

Un énoncé a écrit:On considère l'algorithme ci-dessous :
Variables I et J entiers
T tableau d'entiers
Début
Pour I allant de 1 à 3
Pour J allant de 1 à 3
Si J > I
Alors T[I,J] = J - I
Sinon T[I,J] = 0
Fin Si
Fin Pour
Fin Pour
Fin

1) Construire la matrice M représentant ce tableau
2)a. Calculer à la main M au carré et M au cube
b. en déduire M puissance n pour tout entier n > 3

Voici l'énoncé, je peux m'en sortir pour la question deux mais la première question me bloque !
C'est curieux comme le vocabulaire en mathématique peut changer. Moi, j'ai appris "une matrice est un tableau m x n représentant les termes d'une application linéaire".
J'avoue que depuis que le n'ai pas fait d'analyse, je serais bien incapable de calculer un produit de matrices. Mais, naturellement, il suffirait que j'aille regarder sur le net. C'est d'ailleurs ce que j'ai fait pour écrire mes modules de calculs sur les matrices.
Par contre, écrire à la main le tableau défini par ce pseudo code, ca ne demande aucune connaissance particulière.
Là, j'ai du mal à comprendre le cheminement pédagogique des programmes.
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Re: Signification des termes

Message par Léon1789 le Sam 13 Oct - 17:41

avé,
Dlzlogic a écrit:C'est curieux comme le vocabulaire en mathématique peut changer.
pour le coup, là c'est pas des maths, mais de l'algorithmique.

Dlzlogic a écrit: Moi, j'ai appris "une matrice est un tableau m x n représentant les termes d'une application linéaire".
en effet, une application linéaire peut être représentée par une matrice... à condition d'avoir fixer une base des espaces vectoriels sur lesquels mouline l'application linéaire (et les esp. vect. sont supposés de dimension finie).

Mais cela n'empêche pas une matrice de servir à autre chose. Cela fait plusieurs fois que je te le dis, et tu peux le constater sur le web. Pourquoi veux-tu empêcher les gens de s'en servir pour autre chose ???

Dlzlogic a écrit:J'avoue que depuis que le n'ai pas fait d'analyse, je serais bien incapable de calculer un produit de matrices.
D'une part, ce n'est pas de l'analyse, mais de l'algèbre (linéaire).
D'autre part, le produit matriciel est lié à la composition des applications linéaires, ou, d'un autre point de vue, au produit scalaire.

Dlzlogic a écrit:Là, j'ai du mal à comprendre le cheminement pédagogique des programmes.
Il est bien évident que ce n'est pas en voyant un seul exercice qu'on devine le contenu du chapitre et les objectifs pédagogiques qui y sont développés. Moi aussi, j'ai du mal à comprendre le but de l'exercice, mais bon, je fais confiance à celui qui le pose...

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Re: Signification des termes

Message par Dattier le Sam 13 Oct - 17:45

Bonjour,

https://fr.wikipedia.org/wiki/Le_Joueur_de_fl%C3%BBte_de_Hamelin

Avec dans le rôle du joueur de flûte Dlzlogic et dans le rôle des enfants Léon.

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Re: Signification des termes

Message par Léon1789 le Sam 13 Oct - 17:48

Et Dattier dans le rôle des rats...

Bref, toujours en train de faire des maths, avec des interventions profonde à ce sujet...  Razz Si tu as quelque chose d'intéressant à dire sur le contenu mathématique, ne te gène pas.

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Re: Signification des termes

Message par Dattier le Sam 13 Oct - 17:51

Vous parlez tous les 2 beaucoup de maths, mais ni toi, ni Dlzlogic ne faîtes ici des maths, je suis désolé de vous l'apprendre.

Faire des maths :
1/ecrire une justification maths
2/élaborer une théorie

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Re: Signification des termes

Message par Léon1789 le Sam 13 Oct - 17:53

Désolé de t'informer que ces phase sont mathématiques :

en effet, une application linéaire peut être représentée par une matrice... à condition d'avoir fixer une base des espaces vectoriels sur lesquels mouline l'application linéaire (et les esp. vect. sont supposés de dimension finie).

D'autre part, le produit matriciel est lié à la composition des applications linéaires, ou, d'un autre point de vue, au produit scalaire.


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Re: Signification des termes

Message par Dattier le Sam 13 Oct - 17:53

Léon1789 a écrit:Et Dattier dans le rôle des rats...
Moi, je suis le maire, qui a fait appelle au service de joueur de flûte.

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Re: Signification des termes

Message par Léon1789 le Sam 13 Oct - 17:54

toi aussi, tu fais de l'auto-proclamation ?... encore un point commun avec Dlzlogic.

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Re: Signification des termes

Message par Dattier le Sam 13 Oct - 17:55

Léon1789 a écrit:Désolé de t'informer que ces phase sont mathématiques :

en effet, une application linéaire peut être représentée par une matrice... à condition d'avoir fixer une base des espaces vectoriels sur lesquels mouline l'application linéaire (et les esp. vect. sont supposés de dimension finie).

D'autre part, le produit matriciel est lié à la composition des applications linéaires, ou, d'un autre point de vue, au produit scalaire.

Non !

C'est parler de résultats de maths.

Encore une fois, dans ce forum, ni toi, ni Dlzlogic ne faîtes de maths, toutes au plus vous discutez sur les maths, comme d'autres peuvent discuter de foot.

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Re: Signification des termes

Message par Léon1789 le Sam 13 Oct - 18:50

Dattier a écrit:C'est parler de résultats de maths.
et bien, rappeler des résultats mathématiques, cela fait partie de l'activité mathématique quand on fait des maths... ne t'en déplaise.

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Re: Signification des termes

Message par Dlzlogic le Sam 13 Oct - 18:53

Oui, je vais essayer de rester un peu dans les maths.
Il y a quelques années, une discussion portait sur la résolution de systèmes linéaires.
Je préférais la méthode du pivot de Gauss, d'autres, la méthode matricielle.
Mon compilateur ne sachant pas traiter les matrices, j'ai été obligé d'écrire les modules nécessaires. Je suis bien conscient que les fonctions n'étaient pas parfaitement optimisées, mais la comparaison en temps de calcul était suffisamment nette pour préférer le pivot de Gauss, sans compter, naturellement, les problèmes liés à la précision.
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Re: Signification des termes

Message par Léon1789 le Sam 13 Oct - 18:56

Dlzlogic a écrit:Je préférais la méthode du pivot de Gauss, d'autres, la méthode matricielle.
la méthode matricielle ?? tu veux dire "présentation matricielle" ? ...car on peut très bien utiliser la méthode du pivot de Gauss avec les matrices, évidemment (et inversement). Quand on résout des équations, une matrice ne sert qu'à présenter un système des équations. Cela n'implique aucune méthode particulière, c'est uniquement une présentation.

Sinon, de quelle méthode matricielle parles-tu ?

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Re: Signification des termes

Message par Dlzlogic le Sam 13 Oct - 21:47

Non, ne joue par sur les mots.
La présentation matricielle consiste à écrire A.X = B.
A étant un tableau carré et B un tableau d'une colonne.
La méthode matricielle consiste à écrire X= tansposée(A).B ou un truc comme ça.
Flemme de chercher la syntaxe correcte.
Il est vrai que l'on peut dire que visuellement, c'est la même chose, pour le calcul, c'est complètement différents.
Tous les détails demain si tu veux. Je t'assure que sur ce coup là c'est incontestable.
Ton argument habituel "t'y connais rien en mathématique" sera irrecevable.
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Re: Signification des termes

Message par Dlzlogic le Sam 13 Oct - 22:01

Pour te rafraichir la mémoire, tu avais évoqué comme contre-exemple un certain système dont je me suis empressé d'oublier le nom que "même mathlab" ne savait par résoudre, alors qu'avec ma petite fonction, je trouvais une solution tout à fait présentable. Bien-sûr, j'ai tout ça dans ma machine.
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Re: Signification des termes

Message par Léon1789 le Dim 14 Oct - 10:58

Dlzlogic a écrit:Non, ne joue par sur les mots.
tu n'es pas clair, tu parles de méthode matricielle, alors que ce n'est une méthode, mais une présentation... utilises les bons mots !

Dlzlogic a écrit:La présentation matricielle consiste à écrire A.X = B.
A étant un tableau carré et B un tableau d'une colonne.
A n'est pas forcément carrées : les nombres d'équations et d'inconnues ne sont pas nécessairement égaux.

Dlzlogic a écrit:La méthode matricielle consiste à écrire X= tansposée(A).B ou un truc comme ça.
ok... confondre transposée et inverse, c'est fort joli.
Ok, donc tu parlais de calculer l'inverse de la matrice A. En effet, ce n'est pas une bonne méthode numériquement, et elle est assez coûteux en temps. Ceux qui proposent cela ne font pas de calcul numérique. Heureusement qu'il existe bcp d'autres méthodes numériquement efficaces.

Dlzlogic a écrit:Flemme de chercher la syntaxe correcte.
mais pas flemme de donner des leçons... c'est un peu contradictoire.

Dlzlogic a écrit:il est vrai que l'on peut dire que visuellement, c'est la même chose, pour le calcul, c'est complètement différents.
oui, c'est effectivement très différent de calculer l'inverse de la matrice A, il suffit de traiter un exemple pour voir que ce n'est pas une bonne méthode.

Dlzlogic a écrit:Ton argument habituel "t'y connais rien en mathématique" sera irrecevable.  
ben, confondre transposée et inverse, c'est assez rare pour un spécialiste... et même pour un étudiant post bac...
tu as l'air de ne pas connaitre grand chose en la matière de résolution de système linéaire (avec présentation matricielle par exemple). Renseigne toi : http://www.unilim.fr/pages_perso/thomas.cluzeau/Enseignement/PolyAnalyseNum.pdf

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Re: Signification des termes

Message par Léon1789 le Dim 14 Oct - 10:59

Dlzlogic a écrit:'avec ma petite fonction, je trouvais une solution tout à fait présentable. Bien-sûr, j'ai tout ça dans ma machine.
justement, non, le système à coefficients flottants était particulièrement mal conditionné, mais tu as quitté la discussion pour éviter (?) le voir...

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Re: Signification des termes

Message par Dlzlogic le Dim 14 Oct - 12:46

Bonjour,
Tant que tu ne mets pas de rouge, de gras et certaines expressions qui te sont familières, j'aime bien ta façon de relancer la discussion.
Je lirai le cours que tu as mis en lien plus tard.
D'abord, je vais répondre à tes objections.
Tu distinction entre "présentation matricielle" et "méthode matricielle" est tout à fait claire et valable. Si on parle de "présentation matricielle pour tout ce qu'on veut alors OK, si on parle de méthode matricielle pour autre-chose que l'algèbre linéaire, alors soit c'est le plaisir d'employer des termes qui "font bien", soit c'est une erreur mathématique.

Oui, j'ai parlé de tableau (ou matrice si tu comprends mieux) carré, parce que je me suis placé dans le cas "général" de résolution de systèmes linéaires "ordinaires". Et là, c'est sous-entendu, le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes.

Tu sais bien, et je m'en suis pas caché, je ne fais pas de calcul matriciel. Ben oui, j'ai utilisé le terme "transposé" à la place du terme "inverse", pour la simple raison que ce sont de termes que je ne connais pas. Pour faire mes fonctions, il a bien fallu que je les lise. Un mode d'emploi sous les yeux, je sais faire. Tes sarcasmes sont déplacés.

Tu m'as déjà parlé de "méthodes numériquement efficaces" je t'ai demandé de m'en citer, je ne me souviens pas avoir eu de réponse.

Concernant ton fameux contre-exemple, Dans ce cas là, on connait la solution et on rédige les différentes équations du système de façon qu'on ne puisse pas, par calcul numérique, retrouver la solution. Je reconnais, c'est une démarche très mathématique, trouver un exemple artificiel tel que le méthode que l'on utilise pour tous les cas ordinaires, utiles et fonctionnant normalement, se casse les dents. Souviens-toi, matlab ou un autre donnait une solution débile, alors que ma fonction donnait une solution présentable.

Maintenant le fond du sujet. LA définition d'une matrice est, en gros et souvenirs de 50 ans, une représentation sous forme d'un tableau de n lignes et m colonnes d'une application linéaire. Il en résulte que le tableau ainsi constitué n'est pas modifiable sans modifier l'application linéaire qu'il représente. Pour être plus précis, un tableau est une représentation typographique, une matrice est un objet mathématique. Si on parle de matrice, il est obligatoirement sous-entendu que l'on parle d'application en algèbre linéaire.
On peut dire "sous forme matricielle" c'est un peu "amusant" mais c'est pas choquant. Par contre, cela devient choquant de résoudre un système linéaire de n équations à n inconnues, normalement constitué, c'est à dire résoudre une opération utile et courante, par une méthode issue du calcul matriciel.
C'est le cas typique d'outils hyper-sophistiqués que l'on adapte théoriquement à tous les cas, dans le même ordre d'idée on peut citer aussi l'utilisation de la géométrie projective dans le cas de redressement de façade. Moi, j'appelle ça "prendre un canon pour tuer une mouche".

Pour l'anecdote, j'ai indiqué à un prof la méthode du pivot de Gauss pour la résolution de petits système pour vérifier la calcul de ses élèves. Il avait l'ai bien content, par contre, il s'en fichait de trouver le bon pivot. Bien-sûr nos échanges se sont faits par MP..
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Re: Signification des termes

Message par Dlzlogic le Dim 14 Oct - 14:28

Petite question : le cours de Thomas Cluzot est une pub pour MATLAB ou ce qu'il explique n'est vrai que pour MATMAB ? Mais j'ai peut-être oublié une autre possibilité ?
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Re: Signification des termes

Message par Léon1789 le Dim 14 Oct - 15:34

Dlzlogic a écrit: si on parle de méthode matricielle pour autre-chose que l'algèbre linéaire, alors soit c'est le plaisir d'employer des termes qui "font bien", soit c'est une erreur mathématique.
C'est toi qui a commencé à parler de LA méthode matricielle, tu devrais savoir ce que tu veux dire.
Je t'informe simplement qu'il existe plein de méthodes pour un système linéaire (la plus mauvaise étant de calculer l'inverse d'une matrice, sauf cas particulier) et que ces méthodes sont présentables à l'aide des matrices.

Dlzlogic a écrit: Ben oui, j'ai utilisé le terme "transposé" à la place du terme "inverse", pour la simple raison que ce sont de termes que je ne connais pas.
j'ai bien compris. C'est pour cela que je t'ai donné un lien où on peut apprendre des choses sur ce thème, et y voir plusieurs méthodes de résolutions...

Dlzlogic a écrit:Concernant ton fameux contre-exemple, Dans ce cas là, on connait la solution et on rédige les différentes équations du système de façon qu'on ne puisse pas, par calcul numérique, retrouver la solution. Je reconnais, c'est une démarche très mathématique
tu ne connais visiblement pas la notion de "conditionnement"... l'exemple que j'avais donné était là pour cela. Tu pourras apprendre cette notion dans le cours que je te mentionné ci-dessus...

Dlzlogic a écrit:Souviens-toi, matlab ou un autre donnait une solution débile, alors que ma fonction donnait une solution présentable.
c'est subjectif. Tu veux que je te redonne l'exemple ?

Dlzlogic a écrit: LA définition d'une matrice est, en gros et souvenirs de 50 ans, une représentation sous forme d'un tableau de n lignes et m colonnes d'une application linéaire.
c'est LA définition que tu as retenue, je veux bien croire que c'est celle qu'on t'a donnée.  En plus, comme je te l'ai signalé, il faut une base pour lier matrices et appl. lin.

Les matrices sont des tableaux de nombres servant à présenter des systèmes linéaires, applications linéaires, et aussi les applications bilinéaires. Et il doit y avoir d'autres utilisations.


Dlzlogic a écrit:Par contre, cela devient choquant de résoudre un système linéaire de n équations à n inconnues, normalement constitué, c'est à dire résoudre une opération utile et courante, par une méthode issue du calcul matriciel.
si cela te choque, tant pis. Il y a une théorie entière sur l'analyse numérique la résolution des systèmes linéaires.

Dlzlogic a écrit: Moi, j'appelle ça "prendre un canon pour tuer une mouche".
toi, tu méprises ce que tu ne connais pas...


Dlzlogic a écrit:Pour l'anecdote, j'ai indiqué à un prof la méthode  du pivot de Gauss pour la résolution de petits système pour vérifier la calcul de ses élèves. Il avait l'ai bien content, par contre, il s'en fichait de trouver le bon pivot. Bien-sûr nos échanges se sont faits par MP..    
oui, un prof qui ne connait pas le pivot de Gauss... j'y crois. Rolling Eyes
Bon, que choisir "le bon" pivot ne soit pas son soucis, je le conçois.

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Re: Signification des termes

Message par Dlzlogic le Dim 14 Oct - 15:54

Bon, l'ai lu une bonne partie du cours. On peut y lire un grand nombre de fois le terme "matrice", l'expression, "matrice inversible". Il ne manque la définition d'un tableau : une matrice d'un nombre quelconque de dimensions.
Par contre, on y trouve tout ce qu'il faut comme cas particuliers, erreurs etc.
Pour l'histoire du prof et du pivot, je t'assure que c'est vrai. En fait, je suppose qu'il savait ce que c'était, il a bien appris ses cours, mais il ne savait pas que c'était fait pour être utilisé. Il était bien content de se faire un petite feuille Excel.
D'ailleurs, je n'imagines pas un lecteur du cours Cluzeau avoir compris et appliquer la méthode.
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Re: Signification des termes

Message par Léon1789 le Dim 14 Oct - 16:36

Dlzlogic a écrit:Il ne manque la définition d'un tableau : une matrice d'un nombre quelconque de dimensions.
Ecris-lui, cela l'informera.

Dlzlogic a écrit:D'ailleurs, je n'imagines pas un lecteur du cours Cluzeau avoir compris et appliquer la méthode.  
ben c'est que tu as lu sans comprendre. La méthode du pivot est (presque) partout dans son cours.
Pages 22-23, il y a même une analyse d'un bon choix du pivot ;
page 26 , le calcul du coût de la méthode de Gauss.
page 27 : Faut-il inverser une matrice ? tu verras que la réponse est : évidemment non (comme je te l'ai dit)
pages suivantes : plusieurs méthodes de résolution (et tu diras qu'on t'en donne jamais...)

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Re: Signification des termes

Message par Dlzlogic le Dim 14 Oct - 18:33

Juste deux points de détail.
Si on cherche à résoudre un système linéaire, c'est probablement qu'on en a besoin. Si le système est mal conditionné, alors il y a un problème et il faut revoir les données. L'exemple de Wilson est certes intéressant, mais si les valeurs à droite du signe '=' changent, il me parait normal que le résultat change. Si on constate que les dites valeurs sont trop sensibles, alors il faut revoir la méthode. On y parle de matrice inversible, je ne vois pas où il est question d'application linéaire. Il y a bien du linéaire, c'est un système d'équations et pas une application.

Pour information, Cholesky était géomètres. C'est dans le cadre d'observations et de calculs géodésiques qu'il a mis au point cette méthode. En effet, il fallait environ 10 heures pour compenser un système. Je ne connais pas tous les détails, mais il me semble que cette méthode n'est applicable que dans certaines conditions. Si ça t'intéresse, je rechercherai la doc et donnerai des précisions.

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Re: Signification des termes

Message par Léon1789 le Dim 14 Oct - 18:46

Dlzlogic a écrit:Si on cherche à résoudre un système linéaire, c'est probablement qu'on en a besoin. Si le système est mal conditionné, alors il y a un problème et il faut revoir les données.
le problème peut venir des données, mais aussi de la manière d'obtenir le système.

Dlzlogic a écrit:Si on constate que les dites valeurs sont trop sensibles, alors il faut revoir la méthode.
oui, revoir la méthodologie qui aboutit au système d'équations. Car un système mal conditionné sera toujours mal résolu, sauf en augmentant la précision des calculs de manière énorme.

Dlzlogic a écrit: On y parle de matrice inversible, je ne vois pas où il est question d'application linéaire. Il y a bien du linéaire, c'est un système d'équations et pas une application.
ben oui, il n'y a pas d'application linéaire... puisqu'on utilise ici les matrices pour présenter des systèmes linéaires.

Dlzlogic a écrit:Pour information, Cholesky était géomètres. C'est dans le cadre d'observations et de calculs géodésiques qu'il a mis au point cette méthode. En effet, il fallait environ 10 heures pour compenser un système.
je ne savais pas. Merci pour cette info.

Dlzlogic a écrit:mais il me semble que cette méthode n'est applicable que dans certaines conditions.
oui, sa méthode ne s'applique qu'à des matrices symétriques définies positives, autrement dit des matrices qui traduisent un produit scalaire (application bilinéaire), ou encore des matrices qui donnent une norme sur les vecteurs de R^n.

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Re: Signification des termes

Message par Dlzlogic le Dim 14 Oct - 19:58

Je ne serais pas capable de rentrer dans les détails, mais voici le principe. On a un certain nombre de points soit au sol, soit visibles mais inaccessibles soit des astres. On fait un certain nombre d'observations, on en déduit une certain nombre de mesures. Ces mesures permettent de définir les coordonnées, généralement planimétriques dans un certain système. Ces données sont en sur-nombre. A chaque donnée, correspond une précision. Le but est de calculer l'ensemble de telle façon que les différences entre valeur observée et valeur calculée soient minimum. Conformément à la théorie des probabilités (peu connue on le sait) la solution la plus "probable", c'est à dire celle qui a la plus grande vraisemblance est obtenue par la méthode des moindres carrés. C'est ce type de calcul qui demande une dizaine d'heures pour un calculateur entrainé. Actuellement ce type de calcul est fait par un ordinateur, mais pour le programmer, il faut être capable de le faire à la main, et pour l'exécuter, il faut bien comprendre comment tout cela se passe.
Je tenais à faire cette petite mise au point.
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Re: Signification des termes

Message par Léon1789 le Lun 15 Oct - 8:17

Dlzlogic a écrit:Ces données sont en sur-nombre.
Du coup, tu parles d'un système A.x=b avec A matrice pas carrée...

Dlzlogic a écrit:Conformément à la théorie des probabilités (peu connue on le sait)
peu connue par qui ? J'aime les gens qui s'auto-proclament spécialistes, et qui en plus, affirment être les seuls à savoir...

Dlzlogic a écrit: la solution la plus "probable", c'est à dire celle qui a la plus grande vraisemblance est obtenue par la méthode des moindres carrés.
...sauf que dans la résolution A.x=b, il n'y a pas d'histoire de probabilités en général...

En fait, ce problème est de minimiser || Ax-b || : c'est simplement géométrique, par projection orthogonale (distance euclidienne minimale = moindres carrés) du vecteur b sur le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de A.
page 7 et section 2 de https://www.gerad.ca/Sebastien.Le.Digabel/MTH1007/9_projections_moindres_carres.pdf

On lit très bien << On peut donc voir x comme la meilleure “solution” possible à Ax = b. >> , mais ce "meilleur" n'est pas lié aux probabilités (il n'y en a pas), mais eu sens de la distance euclidienne. C'est de là que sorte les moindres carrés.

Après cela, on peut en effet appliquer cela dans un contexte de probabilités, oui, pas de souci.

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