Un exercice de probabilité conditionnelle

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Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Dlzlogic le Sam 22 Sep - 16:55

Bonjour,

Réf. https://www.maths-forum.com/superieur/probabilites-conditionnelles-t197533.html

"Soit une source d'information binaire émettant une suite de bits indépendants 0 et 1 avec P(0)=0.3
et P(1)=0.7 . Ces informations
binaires sont transmises vers un récepteur à travers deux canaux de transmissions distincts et
indépendants. Ceux-ci sont perturbés
de sorte qu'une probabilité d'erreur apparaît sur les deux canaux (on fera les applications
numériques avec P1=10^-7 et P2=2*10^-7
les probabilités respectives qu'on ait une erreur sur les canaux 1 et 2, i.e. la probabilité d'avoir
en sortie du canal 1 le bit 1
alors que c'était le 0 qui a été émis, etc.). A un certain instant, on reçoit de la première liaison
un "0" et on reçoit de la
deuxième liaison un "1". On cherche celui des bits "0" ou "1" qui a le plus de chance d'avoir été
émis.
Soit z1 la sortie de la première liaison, z2 la sortie de la deuxième liaison et le bit émis.
Déterminer (*) et (**) et conclure."
(*)La probabilité d'un bit à 0 et z1=0 et z2=1
(**)La probabilité d'un bit à 1 et z1=0 et z2=1

A la lecture des réponse, il semble que l'interprétation n'est pas évidente.
Voilà ce que je propose :

A : un bit 0 a été émis, il n'y a pas de perturbation le bit reçu est 0 ==> probabilité 0.3
B : un bit 1 a été émis, il n'y a pas de perturbation le bit reçu est 1 ==> probabilité 0.7
C : un bit 0 a été émis, il y a une perturbation canal 1 le bit reçu est z1=1 z2=0 ==> conflit
D : un bit 0 a été émis, il y a une perturbation canal 2 le bit reçu est z1=0 z2=1 ==> conflit
E : un bit 1 a été émis, il y a une perturbation canal 1 le bit reçu est z1=0 z2=1 ==> conflit
F : un bit 1 a été émis, il y a une perturbation canal 2 le bit reçu est z1=1 z2=0 ==> conflit
L'anomalie sur les 2 canaux est à éliminer : principe de l'indépendance des erreurs
Cas C la probabilité que z2 est bon est 70%
Cas D la probabilité que z1 est bon est 30%
Cas E la probabilité que Z2 est bon est 70%
Cas F la probabilité que Z1 est bon est 30%
Dans tous les cas de conflit, la probabilité d'avoir émis un bit à 1 est majoritaire.

Il est beaucoup question de probabilité conditionnelle, avec application de formules. Je n'en vois pas l'utilité.
Dans cette notion de "probabilité conditionnelle" il est toujours sous-entendu "sachant que", et on
peut se poser la question "qui sait quoi ?". Reférence à la corde de Bertrand : dans toutes les hypothèses, sauf une, la bonne, on
suppose une donnée, par exemple l'origine de la corde, or la corde ne sait pas où est son origine.

J'ai lu plusieurs fois le réponses et il me semble qu'on se focaliser sur les caractéristiques "indépendance" et "conditionnelle" pour se diriger vers des formules.
On y parle aussi d'intuition (!) pour moi, il y a la simple application du principe d'indépendance des erreurs qui se manifeste ici par le fait que la probabilité qu'il y a des erreurs sur les deux canaux est à négliger (infiniment petit d'un ordre supérieur).

On voit assez souvent ce type d'exercice où l'expression "sachant que" est la principale, et qu'il ne faut surtout pas louper, puisque c'est le but de l'exercice : indépendance ou pas. On retrouve cette même notion dans certains calcul où on fait intervenir la covariance. Si elle est nulle (par parenthèse un nombre réel résultant d'une opération arithmétique est très rarement nul) alors il y a indépendance.
[HS] Il me semble que le demandeur est un membre avec qui j'ai pas mal échangé très amicalement. Si c'est bien lui, soit il reçu un grand coup sur la tête, ou des cours débiles, soit il s'amuse comme un petit fou. [/HS]

Bonne journée.

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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Léon1789 le Lun 24 Sep - 19:48

probabilités conditionnelles. Notion qui t'est totalement inconnue, toi le spécialiste vaniteux auto-proclamé.


Je note p la probabilité d'erreur du canal 1, donc 2.p la probabilité d'erreur du canal 2.
Je note q la probabilité d'avoir b=0, et donc 1-q la probabilité d'avoir b=1.

Alors la probabilité d'avoir b=0 lorsque z1=0 et z2 = 1 est P(b=0) = 1/ (1+a) avec a = (1-q).(1-2p) / 2.q.(1-p)  
et donc celle d'avoir b=1 lorsque z1=0 et z2 = 1 est P(b=1) = 1-P(b=0) = 1/ (a'+1)  avec a' = 1/a = 2.q.(1-p) / (1-q).(1-2p)

Il suffit de remplacer p et q par leur valeur respective (p=0.1^7 et q=0.3) et conclure grâce à la plus grande proba entre P(b=0) et P(b=1) lorsque z1=0 et z2 = 1.

Intéressant est de prendre également les valeurs p=0.1^7 et q=0.4 , ou bien p=0.2 et q=0.3 pour obtenir une conclusion inverse...

Les formules que j'ai données sont obtenues comme c'est expliqué dans la discussion sur l'autre forum...

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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Léon1789 le Lun 24 Sep - 19:56

Dlzlogic a écrit:Il est beaucoup question de probabilité conditionnelle, avec application de formules. Je n'en vois pas l'utilité.
lol! lol! lol! lol! lol! lol! lol!

Tu n'as pas compris la question, tout simplement. (je te cite) cheers cheers cheers cheers cheers

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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Dlzlogic le Lun 24 Sep - 22:44

Si tu n'existais pas il faudrait t'inventer.
Ce que tu n'as pas compris est qu'il s'agit de perturbation sur le canal concerné, donc d'erreur. Or, c'est une chose bien connue, "si une erreur était connue, ce ne serait plus une erreur". Je l'ai déjà citée, tu l'as peut-être lue, mais apparemment pas comprise.
Ton agressivité est typique de ceux qui ne savent quoi répondre.
La signification de "probabilité conditionnelle" signifie que "on sait la condition". Qui le sait, la corde de Bertrand, le canal qui transmet le bit, surement pas, c'est l'opérateur. Un bon exemple est le calcul de la probabilité de tirer un carré d'As. Le principe est assez simple, on suppose que la première carte de la main est un As, puis on continue. Ce théorème de Bayes ne s'applique qu'en matière de calcul, et non pas pour des exercices du type du bandit qui se cache dans une maison ou dans le bois.
Le produit de la probabilité d'avoir un bit à 1 et qu'il y ait une perturbation sur ce canal n'a aucune justification. Il n'y a aucune relation de dépendance dans cette situation.
Dans l'application numérique, la probabilité P2 double de P1 n'est qu'un piège.
En fait, je crois avoir compris ton raisonnement : à un instant donné, la probabilité P2 étant plus élevée que la probabilité P1, il est donc plus probable que ce soit le canal z1 qui ait été perturbé. Cela sous-entend que les probabilités de perturbation sur le canal 1 et sur le canal 2 sont liés, ce qui est naturellement faux.
Il est assez étonnant que je sois obligé de t'expliquer des notions aussi basiques.
Essaye de réfléchir un peu.
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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Léon1789 le Mar 25 Sep - 4:05

Dlzlogic a écrit:Bon, je ne vais par rentrer dans les détails, sauf si tu le souhaites, mais il est sûr que le prof qui a posé cet exercice, ne t'aurais pas mis plus de 3/20.
Tu n'as pas compris la question, tout simplement. Tu a aligné de belles formules, pas plus.
Oui, si Dlzlogic n'existait pas, il faudrait (pas) l'inventer : son agressivité est typique de ceux à qui on montre qu'ils ne savent pas répondre à des questions de base.  jocolor
Le pire, c'est que personne l’oblige à répondre à des énoncés traitant d'une théorie qu'il ne comprend pas, tout le monde lui conseille d'arrêter (voire davantage)... mais non, il continue...


Dlzlogic,
tout ton petit laïus est très joli et parfaitement folklorique.... tu inventes mêmes un raisonnement bidon que tu m’attribues.  cheers

Bref, tu te gardes bien de répondre aux questions mathématiques posées dans l'exercice. Je te les rappelle  :

Déterminer la probabilité d'avoir b=0 quand z1=0 et z2=1
Déterminer la probabilité d'avoir b=1 quand z1=0 et z2=1
Conclure.


Tu y réponds quoi ? pour l'instant, tu n'as rien... normal, vu ton niveau de compréhension en théorie des probabilités. Même en essayant de réfléchir un peu, tu n'y arriveras pas.

(Je t'ai pourtant donné les deux premières réponses avec des formules générales qu'il suffit d'appliquer numériquement.)

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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Dlzlogic le Mar 25 Sep - 12:02

Bonjour,
Tu as dû passer un peu vite ou tout simplement ne pas y prêter attention, donc je répète une partie du message concerné :
Voilà ce que je propose :

A : un bit 0 a été émis, il n'y a pas de perturbation le bit reçu est 0 ==> probabilité 0.3
B : un bit 1 a été émis, il n'y a pas de perturbation le bit reçu est 1 ==> probabilité 0.7
C : un bit 0 a été émis, il y a une perturbation canal 1 le bit reçu est z1=1 z2=0 ==> conflit
D : un bit 0 a été émis, il y a une perturbation canal 2 le bit reçu est z1=0 z2=1 ==> conflit
E : un bit 1 a été émis, il y a une perturbation canal 1 le bit reçu est z1=0 z2=1 ==> conflit
F : un bit 1 a été émis, il y a une perturbation canal 2 le bit reçu est z1=1 z2=0 ==> conflit
L'anomalie sur les 2 canaux est à éliminer : principe de l'indépendance des erreurs
Cas C la probabilité que z2 est bon est 70%
Cas D la probabilité que z1 est bon est 30%
Cas E la probabilité que Z2 est bon est 70%
Cas F la probabilité que Z1 est bon est 30%
Dans tous les cas de conflit, la probabilité d'avoir émis un bit à 1 est majoritaire.
Dans l'énoncé, il y a un terme très important "perturbation". On est donc dans le contexte d'erreur : "si elle était connue, ce ne serait plus une erreur", donc elle n'est pas connue. Comme elle n'est pas connue, on ne peut pas la faire intervenir dans une formule.
A chaque exercice où on veut utiliser la probabilité conditionnelle, on utilise formellement ou non l'expression "sachant que", alors il faut se poser la question "qui sait quoi ?".
Evidemment, dans le présent exercice, si on sait que, 1 fois tous les 10 000 000 de bits sur le canal 1 et 2 fois tous les 10 000 000 de bits sur le canal 2, il y a une perturbation qui inverse le bit, alors oui, les formules sont bonnes, mais ce n'est pas du tout ce que dit l'exercice.
Je suppose que les catalogues d'exercices contiennent des énoncés qui utilisent la probabilité conditionnelle, clairement et à juste titre, alors pourquoi sortir des énoncés dont la réponse sera différente selon que le répondeur sera un matheux qui connait bien ses formules ou un autre ?
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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Léon1789 le Mar 25 Sep - 12:03

Dlzlogic a écrit:Dans l'énoncé, il y a un terme très important "perturbation". On est donc dans le contexte d'erreur : "si elle était connue, ce ne serait plus une erreur", donc elle n'est pas connue. Comme elle n'est pas connue, on ne peut pas la faire intervenir dans une formule.
on ne connait pas l'erreur commise (c'est évident , pourquoi y passer des lignes entières ???)
mais on connait la probabilité de faire une erreur.

Dlzlogic a écrit:Evidemment, dans le présent exercice, si on sait que, 1 fois tous les 10 000 000 de bits sur le canal 1 et 2 fois tous les 10 000 000 de bits sur le canal 2, il y a une perturbation qui inverse le bit, alors oui, les formules sont bonnes, mais ce n'est pas du tout ce que dit l'exercice.
quelles formules ? qu'est-ce qui n'est pas dit dans l"exercice ? la réponse, oui, elle n'est pas donnée dans l'énoncé, je suis d'accord.

Bref......... tu te gardes bien de répondre aux questions mathématiques posées dans l'exercice.

Déterminer la probabilité d'avoir b=0 quand z1=0 et z2=1
Déterminer la probabilité d'avoir b=1 quand z1=0 et z2=1


Tu y réponds quoi ? (en faisant des maths...pas du blabla avec des 70% et 30%)

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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Dlzlogic le Mar 25 Sep - 12:13

Ah, si la question est posée comme ça, c'est différent, il n'est plus question de bit, de perturbation etc. Dans ces cas là, c'est le type d'exercice qui ne m'intéresse pas : on n'en a tien à faire des "valeurs" de probabilités. Sinon, je sais bien que dans ce cas, les valeurs des probabilités se multiplient, on est dans le contexte ET (produit, intersection, ou tout ce que tu voudras). On peut aussi appliquer directement la formule de Bayes.
Mais à part une "valeur" de probabilité qui te donnera une bonne note, qu'est-ce que tu auras de plus : dans un bout de ta mémoire la réalisation d'un exercice dont l'énoncé est concret, mais la solution donnée contraire à la réalité.
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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Léon1789 le Mar 25 Sep - 12:14

Dlzlogic a écrit:L'anomalie sur les 2 canaux est à éliminer : principe de l'indépendance des erreurs
lol! ah bon, il est impossible qu'il y ait deux anomalies simultanément sur les deux canaux ?!....

L'indépendance des erreurs n'a rien à voir. D'ailleurs, c'est le contraire : puisque les erreurs sont indépendantes, alors chacune d'elles n'a aucune influence sur l'autre, et donc si l'une se produit, il se peut que l'autre se produise aussi , ou pas... indépendamment de l'une de l'autre...  Sleep


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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Léon1789 le Mar 25 Sep - 12:18

Dlzlogic a écrit:Ah, si la question est posée comme ça, c'est différent
donc tu n'as même pas lu l'énoncé de l'exercice...   Sleep

Dlzlogic a écrit:c'est le type d'exercice qui ne m'intéresse pas
et bien voilà, cela ne t'intéresse pas ... alors pourquoi en parles-tu ??? Personne ne te pousse à faire des tirades hors sujet et bourrées de fautes mathématiques...

Dlzlogic a écrit:Sinon, je sais bien que dans ce cas, les valeurs des probabilités se multiplient,
affraid qu'est-ce que tu racontes.... tu confonds tout....  affraid

Dlzlogic a écrit:qu'est-ce que tu auras de plus
on saura le meilleur choix à faire (on corrige avec 0 ou avec 1), et avec quelle probabilité on aura fait le bon choix (par rapport à la vraie valeur de b).
La correction des erreurs de communication, c'est extrêmement important. Certes, ici, ce n'est qu'un simple exercice très simple.

Dlzlogic a écrit:mais la solution donnée contraire à la réalité.
contraire à TA réalité. Fais donc des simulations, et tu verras....

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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Léon1789 le Mar 25 Sep - 12:23

Dlzlogic a écrit:
http://dattier.yoo7.com/t503-un-exercice-de-probabilite-conditionnelle#5323
où la réponse me parait très simple : b=max(z1,z2). Il y a des pages entières de calculs où on se pose des question d'indépendance, on invoque la probabilité conditionnelle etc, tout ça pour résoudre un problème simple.
dit-il , alors qu'il n'a même pas lu l'énoncé entièrement... et qu'il ne comprend pas de quoi il s'agit Sad

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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Dlzlogic le Mar 25 Sep - 12:24

Tiens, c'est marrant, tu n'as pas bien visé.
J'ai fait une faute de terme : le principe de l'indépendance des erreurs signifie que les erreurs sur des erreurs ne se transmettent pas comme en probabilité conditionnelle. Cela n'a rien à voir dans le cas présent.
J'aurais dû dire "on néglige le produit d'infiniment petits d'un ordre supérieur".
Mais tu as tout de même compris le sens de ma phrase, avec des termes faux.
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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Léon1789 le Mar 25 Sep - 12:27

Dlzlogic a écrit: le principe de l'indépendance des erreurs signifie que les erreurs sur des erreurs ne se transmettent pas comme en probabilité conditionnelle. Cela n'a rien à voir dans le cas présent.
alors pourquoi parles-tu dans cet exo du principe de l'indépendance des erreurs ?!   Sleep sois un peu cohérent !!

bien sûr qu'il est sous-entendu que les erreurs étaient commises sur les deux canaux de manières indépendantes : tu as vu le mot écrit en gras dans l'énoncé ?!  Basketball

Bref, tu écris du blabla sans lien avec l'exercice (que tu as lu de travers et qui ne t'intéresse pas).

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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Dlzlogic le Mar 25 Sep - 12:35

Je t'ai dit que j'avais fait une faute de terme.
L'exercice m'intéresse parce qu'il s'agit de probabilités et que il a fait l'objet de nombreux échanges sur le forum où il a été posé.
Concernant le problème d'erreur dans le cadre de transmission en informatique, je suis parfaitement conscient de son importance, justement pourquoi utiliser ce contexte pour faire appliquer une formule qui n'a pas grand-chose à voir.
Je te trouve bien agressif aujourd'hui, aurais-tu mal dormi ?
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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Léon1789 le Mar 25 Sep - 12:41

ok, tu t'es trompé de terme, de contenu, etc. bref, tout le monde peut se tromper, pas de souci.

Dlzlogic a écrit:L'exercice m'intéresse parce qu'il s'agit de probabilités et que il a fait l'objet de nombreux échanges sur le forum où il a été posé.
En ce qui concerne les probabilités, tu as dit que cela ne t'intéressait pas. Sinon, il faut répondre aux questions portant sur les probas :

Déterminer la probabilité d'avoir b=0 quand z1=0 et z2=1
Déterminer la probabilité d'avoir b=1 quand z1=0 et z2=1

Donc ce qui t'intéresse, et là, je te crois complètement, c'est les nombreux échanges sur l'autre forum. Car ainsi, tu peux critiquer les gens (surtout ceux qui aident...) comme à ton d'habitude... qui plus est en te prenant pour un spécialiste (genre "regardez comme c'est simple !") , alors que tu ne sais pas répondre à l'exercice (genre "non, cela ne m'intéresse pas, je suis au-dessus de ça").

Bon, allez, fais au moins des simulations pour essayer d'appréhender (statistiquement) ce que donnent les formules théoriques (les probas !)

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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Dlzlogic le Mar 25 Sep - 13:09

Soyons clairs. Si le sujet m'intéresse à cause du nombre d'intervenants, c'est qu'il doit y avoir un problème quelque part, et j'essaye de comprendre pourquoi. Dans le cas présent, mon explication serait qu'on essaye de ramener un contexte réel à une formulation mathématique, et à l'évidence, ce n'est pas si simple qu'il y parait.
Si c'est un exercice de calcul mathématique, alors il ne faut parler ni de bits, ni de canaux, ni de perturbation. Or, l'énoncé en parle, donc ce n'est pas un exercice de mathématique.
Ah, une simulation, Bien-sûr ça donnera la même chose que ta formule. Mais pour justifier l'utilisation des proportions de perturbation, il aura fallu faire une telle quantité d'essais que le matériel aura évolué entre-temps. Donc, c'est vrai sur le papier, mais pas dans la réalité.

Ceci me rappelle une anecdote, lors d'une visite à l'ESGT, le directeur nous racontait que les élèves avaient refait les calculs de précision d'un certain appareil et avaient trouvé des résultats meilleurs que les ingénieurs du fabriquant. On est strictement dans le même type de contexte.
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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

Message par Léon1789 le Mar 25 Sep - 13:16

Dlzlogic a écrit: Si le sujet m'intéresse à cause du nombre d'intervenants, c'est qu'il doit y avoir un problème quelque part, et j'essaye de comprendre pourquoi.
Cela n'apparaît pas vraiment dans ton message initial... c'est le moindre que l'on puisse dire.  drunken  Où analyses-tu le pourquoi d'une discussion aussi longue dans l'autre forum ? tu ne fais que rejeter les notions d'indépendance, de probas conditionnelles, les formules, etc. Bref, tout ce que tu ne connais pas. Rejeter ce que l'on connait pas, c'est déjà un comportement "faible" (mais très commun, j'en conviens), et quand cela vient d'un "spécialiste", c'est encore pire... Et c'est encore davantage renforcé quand on lit tes affirmations mathématiques (où traînent quelques pourcentages pour donner une illusion de calcul et de raisonnement... qui font contre-sens en réalité).

Comme je te le disais :
Léon1789 a écrit:La discussion s'est enlisée car Sake semble avoir du mal à comprendre ce que signifie "indépendant".

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Re: Un exercice de probabilité conditionnelle

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