Plus grand quadrilatère dans un polygone.

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Plus grand quadrilatère dans un polygone.

Message par Dlzlogic le Mar 5 Juin - 14:46

Bonjour,
Voila une question amusante :
https://www.maths-forum.com/superieur/maximiser-surface-quadrilatere-t195003.html
J'ai une solution, mais je ne sais pas démontrer que c'est la meilleure.


Dernière édition par Dlzlogic le Mer 6 Juin - 15:55, édité 1 fois
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Re: Plus grand quadrilatère dans un polygone.

Message par Dlzlogic le Mer 6 Juin - 15:54

Bonjour,
Voila la solution que je propose.
On cherche la plus grande diagonale du polygone. C'est une opération rapide. Comme le polygone est convexe, à partir d'un sommet, les calculs de distance ne seront faits que sur la moitié des autres sommets, puisqu'il suffit d'arrêter lorsque la distance décroit.
Ce segment sera la diagonale du quadrilatère recherché.
Les deux autre sommets seront les deux points les plus éloignés de la diagonale, de chaque côté.
Essai de démonstration.
Supposons qu'il existe une diagonale plus courte mais qui génère deux triangles dont la somme des hauteurs soit supérieure à la somme des hauteurs des triangles adoptés.
Il y a deux cas. Soit cette diagonale est voisine de la diagonale adoptée, elle aura donc sensiblement la même direction et étant donné que le polygone est convexe, la somme des hauteurs ne pourra pas générer un quadrilatère d'aire supérieur.
Considérons une diagonale sensiblement différente de la diagonale adoptée. Les points les plus éloignés de chaque côté seront assez voisins de la diagonale adoptée, la somme des hauteurs sera inférieure à cette diagonale.
Rappelons qu'un polygone convexe possède une direction plus allongée que l'autre. La diagonale adoptée sera dans cette direction.
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