Des groupes puissants ?

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Des groupes puissants ?

Message par Dattier le Jeu 18 Mai - 13:31

Salut,

Soit $p$ entier premier, $G$ un groupe d'ordre $2^p-1$. A-t-on $G$ abélien ?

Cordialement.

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Re: Des groupes puissants ?

Message par Dattier le Mar 30 Mai - 19:37

Salut,

Je n'ai pas oublié la promesse que j'avais faîtes sur mathoverflow, mais en même temps, si la réponse n'intéresse personne, je préfère la garder pour moi, en effet cela me permettra de mettre aux points de nouveaux casse-têtes.

Cordialement.

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Re: Des groupes puissants ?

Message par Dattier le Mer 31 Mai - 5:18


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Re: Des groupes puissants ?

Message par Dattier le Mer 31 Mai - 5:44


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Re: Des groupes puissants ?

Message par Dattier le Mer 31 Mai - 5:58

En fait, 3^2-1=8, on peut avoir un groupe non abélien : http://agregmaths.free.fr/doc/docs_nicolas/developpement%20coupe%20au%20montage/groupe%20d'ordre%208.pdf

Donc, il y vraiment quelque chose de spéciale pour 2, si ce résultat est vrai... Avec l'aide de Dieu, je vais continuer mes investigations...

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Re: Des groupes puissants ?

Message par Matematix le Jeu 6 Juil - 19:21

Salut,
Peu de chance d'avoir p^q-1 toujours abélien dans le cas général. Pour chaque nombre pair n supérieur à 6 il existe un groupe diédral d'ordre n donc non abélien.

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Re: Des groupes puissants ?

Message par Dattier le Jeu 6 Juil - 20:07

Salut,

Tu aurais un contre-exemple dans le cas p=2, merci.

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Re: Des groupes puissants ?

Message par Matematix le Jeu 6 Juil - 22:28

Dattier a écrit:Salut,

Tu aurais un contre-exemple dans le cas p=2, merci.
Salut, non je n'en est pas, j'y réfléchirai à l'occasion (j'essaierai demain). Je voulais juste signaler que le résultat général que tu annonces ne peut être vrai.

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Re: Des groupes puissants ?

Message par Dattier le Mar 11 Juil - 6:09


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Re: Des groupes puissants ?

Message par Matematix le Jeu 13 Juil - 0:59

J'ai eu le loisir de jeter un oeil. La question est très intéressante pour p=2 en effet. Cela mène, au fil de recherche vers les nombres de Carmichael qui, eux, n'ont pas le bon goût d'être tous premiers. J'ai essayé quelques critères de "non abélianité" lorsque 2^p-1 se factorise en deux facteurs premiers et ils ont échoué. J'irai jeter un oeil aux Sylow pour ceux qui ont un nombre de facteurs premiers plus grand que 3. Connais tu la réponse ou la question est ouverte ? Si la réponse est aussi difficile que les conjectures qui se cachent derrière les nombres de Carmichael ça risque d'être sportif et le plaisir de la recherche ne sera pas statué par l'extase de la solution...

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Re: Des groupes puissants ?

Message par Dattier le Jeu 13 Juil - 5:33

Salut,

Non pour l'instant je ne connais pas la réponse, j'ai posé la question sur mathoverflow :

https://mathoverflow.net/questions/273976/g-a-group-with-p-a-prime-number-and-g-2p-1-is-it-abelian

Cordialement.

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