Un peu de géométrie (2D ou 3D)

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Un peu de géométrie (2D ou 3D)

Message par Dlzlogic le Mar 17 Avr 2018 - 10:10

Bonjour,
Voila une question posée par un étudiant pour sa thèse de master :
https://www.ilemaths.net/sujet-distance-du-centre-de-gravite-d-un-triangle-a-un-point-externe-782531.html
C'est un peu dommage qu'il parle d'une matrice alors que ce n'est qu'un tableau à 2 entrées.
D'autre part, il semble se focaliser sur le problème du centre de gravité, alors que c'est extrêmement facile.
Ce qui est plus difficile, mais assurément intéressant, est de déterminer les triangles.
Il faudrait lui rappeler que, soit 3 longueurs, il n'est pas toujours possible de tracer un triangle.
J'aimerais bien savoir l'intérêt du centre de gravité.
J'ai déjà vu ce problème dans le but d'une relations entre différents points. J'ai préféré le traiter en 3D. C'est assez intéressant.

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Re: Un peu de géométrie (2D ou 3D)

Message par Dattier le Mar 17 Avr 2018 - 11:00

Bonjour,

Pour la relation qu'il demande :

on a E=AP^2+BP^2+CP^2,
on a AP^2=AG^2+PG^2+2AG.PG
donc E=AG^2+BG^2+CG^2+3PG^2

d'où la relation voulue : 1/3(AP^2+BP^2+CP^2-AG^2-BG^2-CG^2)=PG^2

Avec 1/3(BA^2+CA^2+BC^2)=AG^2+BG^2+CG^2

Cordialement.

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Re: Un peu de géométrie (2D ou 3D)

Message par Dlzlogic le Mar 17 Avr 2018 - 12:19

Salut Dattier,

Oui, ça a l'air juste, mais il manque la condition que ABC soit un triangle, c'est à dire que le plus grand côté soit inférieur à la somme des deux autres.
Je voudrais bien savoir quel est exactement le problème. Autrement dit, le choix du centre de gravité est un moyen d'étudier la proximité d'un point P par rapport à 3 points ABC, ou pour un autre motif.
En d'autres termes ce calcul est un but ou un moyen d'arriver à un but.

Cela me rappelle un vieux problème : soit un semi de point en 2.5D, c'est à dire des points 2D avec un Z. Soit on point P connu en XY. Quelle est l'altitude de P ?

Pendant longtemps, je cherchais n points proches de P, n étant de l'ordre d'une dizaine. Ceci me permettait de déterminer un certain nombre de triangles. Chaque triangle déterminait une facette, donc un plan, il n'y avait plus qu'à calculer le Z de P dans le plan. Naturellement, il y avait autant de Z que de triangles. Il suffisait d'adopter une méthode pour calculer l'altitude la plus probable. Pour mémoire, l'altimétrie, donc les cubatures, d'à peu près 400 lotissements ont été calculés avec cette méthode.

Maintenant tout le monde fait une triangulation avec la méthode de Delaunay, donc, je m'y suis mis.

PS. Es-tu sûr de cette ligne : on a AP^2=AG^2+PG^2+2AG.PG ?

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Message par Dattier le Mar 17 Avr 2018 - 12:52

Dlzlogic a écrit:PS. Es-tu sûr de cette ligne : on a AP^2=AG^2+PG^2+2AG.PG ?
Effectivement une erreur de signe :

AP^2=(AG+GP)^2=AG^2+PG^2+2.AG.GP (mais ces termes s'annulent car G est le centre de gravité : AG+BG+CG=0)

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Re: Un peu de géométrie (2D ou 3D)

Message par Dlzlogic le Mar 17 Avr 2018 - 14:11

Il me semble que tu ajoutes des distances comme si c'étaient des vecteurs. Ce qui est incorrect.
Si on connait les 3 longueurs des côtés d'un triangles, la seule relation que je connaisse est a² = b² + c² - 2bc.cosA
D'ailleurs, si on connait 3 points ABC et les distances PA, PB, PC, en général, ça ne marche pas, il y une donnée en trop.

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Re: Un peu de géométrie (2D ou 3D)

Message par Dlzlogic le Mar 17 Avr 2018 - 16:22

Pour ce type de problème, sauf complication extrême, je ne pense pas qu'on puisse faire autrement que se donner un repère orthonormé.
On construit un premier triangle valable, c'est à dire dont le plus grand côté est plus petit que la somme des deux autres. Pour des raisons techniques, on aura intérêt à démarrer avec un triangle le plus grand possible et le plus équilatéral possible.
Ensuite, de proche en proche on construit les autres triangles.
Sauf si le tableau donnant les distances entre points a été créé pour que "ça marche", il y aura des cas d'imprécision ou d'impossibilité. C'est à dire, soit des distances à modifier, soit des triangles impossibles ou faux.
Là la décision dépendra du contexte, c'est à dire du but de l'opération. C'est la raison pour laquelle j'avais fait le calcul en 3D, puisque cela améliore les chances de réussite..
En gros, la question, telle que posée, admet plusieurs solutions, suivant le type de données et ce qu'on veut faire.
C'est un problème intéressant, je crains qu'il n'y ait pas de suite. Tant pis.

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Re: Un peu de géométrie (2D ou 3D)

Message par Dattier le Mar 17 Avr 2018 - 18:09

Dlzlogic a écrit:D'ailleurs, si on connait 3 points ABC et les distances PA, PB, PC, en général, ça ne marche pas, il y une donnée en trop.
Non, en fait ne pouvant pas mettre une flêche au-dessus, en fait je manipule un produit vectoriel avec des vecteurs.

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Re: Un peu de géométrie (2D ou 3D)

Message par Dlzlogic le Mer 18 Avr 2018 - 12:54

Bonjour,
Je sais que la définition donnée pour les vecteurs a changé depuis que j'ai fait mes études, mais un vecteur en géométrie reste un vecteur.
La vieille définition : "Un vecteur est un segment de droite orienté. Il possède donc une origine, une extrémité, une longueur, une direction et un sens. Un vecteur peut être glissant."
Donc lorsqu'on parle de vecteurs on est censé connaitre sa longueur et sa direction.
On peut faire différentes opérations avec les vecteurs, l'addition, la multiplication par un scalaire, le produit scalaire entre deux vecteurs, le produit vectoriel, la résultante, étant dans une troisième dimension, est homogène à une aire.

Dans le cas présent de l'énoncé, l'information connue est la distance entre points. Il n'est nulle part question de vecteur. On ne connait que des longueurs.

Bonne journée.

Dlzlogic

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