Autre exercice avec des dés.

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Autre exercice avec des dés.

Message par Dlzlogic le Mar 19 Déc - 14:00

Bonjour,
On trouve de plus en plus souvent des exercices de probabilité mettant en œuvre la loi géométrique, ou la loi exponentielle si c'est une variable continue.
Ci dessous un lien sur un exemple (c'est le second exercice qui concerne le lancé de 5 dés).
Sauf des cas très particuliers comme la durée de vie, de tels énoncés (2 cartes pour 5 personnes ou 7 bougies à souffler - voir des exercices déjà commentés) ne concernent que le jeu. Ou plutôt, je n'ai pas trouvé d'autres exemples que le jeu.  
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1582856
La question est "En déduire que T [la variable correspondant au nombre d'essais] admet une espérance."
Ce type d'expérience correspond aux hypothèses du TCL : on fait un certain nombre de réalisation d'une expérience suivant une même loi de probabilité. La loi de probabilité s'écrit "Etudier le nombre de coups nécessaires pour obtenir 5 As avec 5 dés à 6 faces".
Cette loi de probabilité est connue sous le nom de "loi géométrique". Ci dessous une simulation de 100 tirages.
Code:
Nombre d'essais pour obtenir 5As
Nombre = 100  Moyenne = 12.44  emq=6.37  ep=4.25
Médiane = 11   min= 2  max=29
Classe 1  nb=   0  0.00%   théorique 0.35% |
Classe 2  nb=   0  0.00%   théorique    2% |
Classe 3  nb=   4  4.00%   théorique    7% |HHHH
Classe 4  nb=  28  28.00%   théorique   16% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  24  24.00%   théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  17  17.00%   théorique   25% |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  13  13.00%   théorique   16% |HHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  11  11.00%   théorique    7% |HHHHHHHHHHH
Classe 9  nb=   3  3.00%   théorique    2% |HHH
Classe 10 nb=   0  0.00%   théorique 0.35% |

La répartition des résultats est, sans doute possible, celle d'une loi géométrique.
Alors comment parler d'espérance ?
Dans le vocabulaire des probabilités, le termes "espérance" est directement lié au gain, puisque c'est égal au produit de la probabilité de gagner par le gain.
En fait, il faut plutôt comprendre que l'espérance est la moyenne. Dans ce cas, il n'y a pas besoin de calcul pour savoir que la moyenne converge : c'est ce que dit le TCL.
Mais, en l'occurrence, puisqu'il s'agit de jeu, l'espérance serait la médiane plutôt que la moyenne.  

Ma conclusion est que certains étudiants qui réfléchissent ont vraiment du mal à comprendre et c'est normal.
Le corrigé (il est présent et c'est assez rare) produit une jolie formule que le suis incapable de calculer.
Bonne journée.
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