Un exercice avec un dé à 6 faces

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Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par Dlzlogic le Jeu 7 Déc - 12:47

Bonjour,
Voilà un petit exercice qui ne demande pas de calculs compliqués mais seulement de savoir faire la différence entre un chiffre et un nombre.
https://www.maths-forum.com/lycee/mediane-ecart-interquartile-t190475.html
Enoncé a écrit:On a lancé 100 fois un dé et noté les résultats obtenus.
Face 1 2 3 4 5 6
Nombre de lancers 12 28 20 18 12 10
Ma question : est-ce que les réponses auraient été différentes si les nombres de lancée avaient été : [10 12 12 18 20 28] ou [28 20 18 12 12 10], c'est à dire la même liste dans n'importe quel ordre ?
Autre question (souvent plus difficile) : est-ce que les réponses auraient été différentes si le dé avait, sur ses faces, non pas des points blancs au nombre de un à six, pour pouvoir les distinguer mais des petits dessins, éventuellement en forme de chiffre, pour pouvoir les distinguer ?

Pour moi, la médiane est le nombre "milieu" de résultats, c'est à dire 15. La définition de médiane pourrait être "la valeur qui sépare la liste en deux sous-liste de longueurs égales". Dans le cas présent, puisqu'il s'agit d'un résultat de tirage aléatoire, alors cette médiane est aussi la limite des éléments des deux listes. On constate que 10 12 12 sont inférieurs à 15 et que 18 20 28 sont supérieurs à 15. La médiane est aussi très proche de la moyenne 15 ~ 16.7.
L'écart inter quartile, là ce sont des termes qui correspond à un vocabulaire que je ne connais pas.

La réponse de pascal16 est assez étonnante. Il semble confondre "chiffre" et "nombre", c'est en effet ce que l'on peut comprendre de sa phrase "Q1 est la valeur du caractère qui permet ...". De plus il semble avoir oublié de trier la liste : 12 + 28 n'a aucun sens, puisqu'il n'existe aucune relation d'ordre entre les faces du dé ayant servi à l'expérience.  
Naturellement le demandeur n'a rien compris.
D'autre part, pascal16 devrait savoir qu'avec un dé ordinaire à 6 faces de même taille, on obtient forcément une répartition normale du nombre de sortie de chaque face, quel que soit le graphisme permettant de les repérer.

Voilà une petite interro pour spécialiste des proba, enseignants en particulier : http://www.dlzlogic.com/aides/Lance_de_des.pdf
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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par Dlzlogic le Jeu 7 Déc - 18:31

Bon, j'avoue que les dernières interventions depuis mon dernier message me paraissent être tout simplement "n'importe quoi". Mais comme tout le monde semble d'accord, alors VIVE LES MATHÉMATIQUES !
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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par nuage: le Lun 1 Jan - 21:28

Bonne année Dlzlogic.

Comme j'ai pris de  bonnes résolutions, je vais tenter une explication.

On est justement dans un cas où on peut utiliser le théorème central limite : la moyenne des 100 résultats suit à peu près une loi normale.
Bien entendu il faut comprendre que cette affirmation est faite avant que l'on lance 100 fois le dé, une fois qu'on a fait les lancers on a juste un nombre qui n'a plus rien d'aléatoire.

La moyenne théorique de la loi est la moyenne des valeurs portées sur les faces du dé soit 3,5.
Et pour une loi normale, la médiane est égale à la moyenne.
Il serais donc très surprenant d'avoir une moyenne de 3,5 un écart-type de 0,17 et une médiane égale à 15.

Si on remplace les nombres sur les faces du dé par des dessins non ordonnés, la notions de médiane n'a plus de sens.
Quelle peut-être la médiane entre un tuyau, une vache et une colline ?

Sinon une remarque : a priori la répartition proposée est assez improbable, sauf erreur de ma part ( possible car j'ai fait les calculs de tête ), on a moins d'une chance sur 20 d'obtenir une répartition de ce type.

nuage:

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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par Dlzlogic le Lun 1 Jan - 22:46

Bonsoir Nuage,
Merci pour ta réponse.
D'abord un point important, le TCL porte le nom de théorème, c'est un peu dommage, parce que sa démonstration est vraiment très compliquée. Elle est basée sur le postulat de la moyenne, ce dont personne ne parle. Personnellement, je préférerais lui donner le qualificatif d'axiome, dans le sens où il s'agit d'un constat sur un très grand nombre d'essais. C'était un aparté, mais il parait important. Si la démonstration de ces notions t'intéresse, j'ai un cours qui s'inspire du cours de Lévy.

Pour le sujet précis, quelle est l'hypothèse ? On fait une expérience, c'est à dire que on jette un dé 100 fois et on compte le nombre d'apparition de chaque face. Naturellement, chaque face comporte un dessin repérable, de façon à le différencier des autres.
On constate que la face A a tant de sorties, la face B tant, etc. Qu'importe ce qui est dessiné sur la face, la seule choses importante est de la repérer par rapport aux aitres.
Ce que tu appelles les "valeurs portées sur les faces" le sont pas des nombres, ni des valeurs, on appelle ça en général des labels. Il en résulte que la "moyenne" que tu précises ne correspond à rien : on ne peut pas prendre la moyenne de 1 tache + 2 taches + ... + 6 taches, comme on ne peut pas prendre la moyenne de A+B+C+D+E+F.
L'expérience consiste à compter le nombre de fois que chaque face est sortie.

Bon, j'ai essayé d'expliquer les choses telles qu'elles sont mais j'ai vraiment le sentiment que cette "prétendue moyenne" étant 3.5, ce n'est forcément jamais vrai et même complètement ridicule. La seule conclusion qu'on puisse en tirer est que les calculs de probabilités conduisent à une aberration. C'est tout de même un peu gênant, considérant l'énergie qui est développée à propos de ce chapitre.

Bonne soirée.
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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par Dlzlogic le Mar 2 Jan - 11:20

Bonjour,
Un petit complément à ma réponse d'hier.
Dans l'énoncé de base, il est précisé que le dé est équilibré, donc que chaque face a la même probabilité de sortir que les autres, soit 1/6. La loi de probabilité est donc claire et l'expérience est réalisée dans un contexte de "même loi", ce qui est l'hypothèse de base d'application du TCL.

Si on veut prendre en compte la valeur numérique de l'indication portée sur chaque face, alors les faces vaudront 1, 2, 3, 4, 5 et 6. On est exactement dans le cas du calcul de l'espérance (produit du gain par la probabilité) E(1)=1/6 ; E(2)=2/6 ; ... E(6]=6/6=1. On n'est plus du tout dans le même contexte que celui précisé par l'énonce. Mais, rien n'interdit de fixer un protocole qui applique cette loi de probabilité, par exemple, un événement sera la somme des taches obtenues sur 30 tirages. On pourra répéter 100 fois l'expérience et on pourra constater que la loi normale est bien respectée.

Autres définition : on ne joue plus avec un seul dé, mais avec deux dés et on ajoute les taches. Le résultat est compris entre 2 et 12. La probabilité d'avoir 2 ou 12 est 1/36. Il n'y a pas équiprobabilité entre les différents tirages.
Mais là, on est loin du problème posé dans lequel il était demandé de définir le nombre de sorties qui correspond à la médiane, le nombre de taches sur les faces n'entrant pas en jeu dans l'expérience et servent juste à différencier les faces les unes par rapport aux autres.

Bonne journée.
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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par Dlzlogic le Mar 2 Jan - 12:42

Voila une simulation telle que décrire à la réponse précédente :
On jette 30 fois un dé et on ajoute le nombre de taches que l'on compte sur la face visible.
La moyenne théorique est 105 taches.

Espérance avec 30 jets de dé
Nombre = 100 Moyenne = 106.61 emq=9.33 ep=6.22
Médiane = 106 min= 88 max=128
Classe 1 nb= 0 0.00% théorique 0.35% |
Classe 2 nb= 0 0.00% théorique 2% |
Classe 3 nb= 9 9.00% théorique 7% |HHHHHHHHH
Classe 4 nb= 19 19.00% théorique 16% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5 nb= 23 23.00% théorique 25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6 nb= 24 24.00% théorique 25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7 nb= 12 12.00% théorique 16% |HHHHHHHHHHHH
Classe 8 nb= 11 11.00% théorique 7% |HHHHHHHHHHH
Classe 9 nb= 2 2.00% théorique 2% |HH
Classe 10 nb= 0 0.00% théorique 0.35% |

On constate que le résultat est conforme à la théorie, loi des grands nombres et répartition normale.
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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par Dlzlogic le Mer 3 Jan - 12:19

Bonjour Nuage,
Ton apparente certitude finit par me faire douter, alors j'ai relu très soigneusement l'énoncé.

1- Déterminer la médiane et l’écart interquartile de cette série
De quelle série s'agit-il ? La série des 6 graphiques représentés sur les dés ? ou la série des 6 scores obtenus par chaque face au cours des 100 lancés ?  
Tu n'as pas répondu à ma question du premier message :
est-ce que les réponses auraient été différentes si les nombres de lancée avaient été : [10 12 12 18 20 28] ou [28 20 18 12 12 10], c'est à dire la même liste dans n'importe quel ordre ?
Donc, que viennent faire, dans les réponses, les chiffres 3 et je ne sais quoi ?

Je viens de lire certaines discussions entre profs où il s'agissait de continuité, monotonie, dérivabilité, ensemble de définition, et une autre où il s'agissait de mesure, grandeur etc.
La précision des termes est indispensable, alors si pour toi le dessin sur une face de dé est un nombre et non pas un repère pour le distinguer des autres, alors il est nécessaire de le préciser, alors, la permutation des comptages est impossible. En ce cas pour calculer la médiane, il faut multiplier chaque score par la "valeur" de la face, trier ces résultats, prendre le milieu. On n'est certainement pas dans le cadre de tirage iid, donc le calcul de la moyenne n'a pas de sens et on n'est naturellement pas dans le cadre du TCL.      

Pascal16 a écrit:rappel : le caractère observé est la valeur de la face du dé.
Où on parle de "caractère" ? Depuis quand une face a une "valeur" (sauf au Monopoly) ? Ici, il s'agit de maths, ce qui est dessiné sur la face est un "caractère" quelconque servant à différencier les faces. Pascal n'a pas bien compris la distinction, enseignée en primaire, entre "chiffre" et "nombre".
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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par Dlzlogic le Ven 5 Jan - 16:05

Bonjour,
Suivant le principe de tirage de dé à 6 faces, il y a ce sujet amusant :
https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/tour-magie-probabilites-t191385.html
Mon explication : On fait un tout complet et on dépasse l'arrivée.
Le nombre moyen de sauts est 7, puisqu'on fait en moyenne 6 tours pour attendre le départ, plus 1.
Il y 24 cartes, donc la moyenne arithmétique des longueurs de saut = 24/7 ~ 3.43.
Or la moyenne de 1 à 6 est 3.5, bien que la carte 3.5 n'existe pas. La différence entre 3.5 et 3.43 est 0.07, qui est le taux d'échec.
Si Nuage a une autre idée, je suis preneur.
Bonne journée.
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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par Dlzlogic le Sam 6 Jan - 15:30

Bonjour,
Il y a une longue explication de Beagle. Je le connais bien, il n'est pas mathématicien, mais il a un énorme bon-sens. Assurément intuitivement il a trouvé l'explication, mais pas le façon de le calculer.
C'est tout de même bizarre que les grands spécialistes de ces notions se soient abstenus de répondre. Par hasard, leur spécialité se limiterait-elle à répéter des choses qu'ils ont lues ou même qu'ils ont apprises, comme par exemple l'analyse combinatoire (summum de la connaissance en matière de probabilité !).
Bonne journée.
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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par nuage: le Sam 6 Jan - 18:12

Je me sens un peu seul à prendre de bonnes résolutions.
Dommage.

nuage:

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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par Dlzlogic le Sam 6 Jan - 22:40

Bonsoir Nuage,
Si j'ai bien compris, tes bonnes résolutions consistent à m'expliquer gentiment que des notions n'existent pas ou sont fausses.
Je suis prêt à échanger tranquillement et franchement, dans le détail de tout cela.
Pour fixer le débat, je fais l'affirmation suivante : les probabilités sont basées sur 3 notions fondamentales
1- le postulat de la moyenne
2- la loi de grands nombre
3- la loi normale.
J'ai expliqué cela dans mon papier :
http://www.dlzlogic.com/aides/Notions_de_probabilite.pdf
Sauf avis contraire on peut partir de cela pour discuter. Tu peux proposer un autre document. J'en ai lu pas mal, et la première question que je poserai sera : pourquoi considère-t-on la moyenne arithmétique.
Il m'est arrivé de proposer le jeu de "question-réponse". Chacun son tour pose une question et l'autre répond, puis pose une question etc.
Ainsi, on devrait arriver à se comprendre.
Je suis et reste ouvert à tout échange.
Mais j'avoue que le ton de mon dernier message est un peu provocateur. C'était un peu le but.
Bonne soirée.
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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par Dlzlogic le Lun 8 Jan - 14:12

Bonjour,
Toujours dans un contexte similaire, un exercice qui comporte des termes que j'ai du mal à comprendre :
https://www.maths-forum.com/lycee/estimation-intervale-confiance-t191515.html
1- c'est quoi un "estimateur sans biais" ?
2- pourquoi "note espérée" ?
3- en quoi des calculs numériques sur une question du programme peuvent-ils dépendre du niveau ?

Merci d'avance.
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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par Dlzlogic le Lun 8 Jan - 22:08

Bonsoir,
Peut-être que mes questions ne sont pas assez précises, donc je les reformule.
C'est quoi un estimateur de la moyenne ? S'il s'agit de la moyenne arithmétique, c'est un simple calcul de niveau élémentaire. Le terme "estimateur" désigne probablement une méthode, éventuellement approchée. Y aurait-il plusieurs méthode pour calculer une moyenne ? D'ailleurs il n'est pas précisé que la moyenne demandée est la moyenne arithmétique.
Concernant le biais, là, pour moi, c'est complètement flou.

Merci d'avance pour vos explications. Bien-sûr, Nuage, je que tu vas m'éclairer.

Pour aider, j'ai utilisé mon module pour faire le calcul :
Nombre de valeurs = 15 valeur minimale =8.60 valeur maximale=10.90
Rapport Emq/Ema = 1.29 Théorique = 1.25
Nombre = 15 Moyenne = 9.71 emq=0.64 ep=0.43

Classe 1 nb= 0 0.00% théorique 0.35% |
Classe 2 nb= 0 0.00% théorique 2% |
Classe 3 nb= 2 13.33% théorique 7% |HHHHHHHHHHHHHH
Classe 4 nb= 1 6.67% théorique 16% |HHHHHHH
Classe 5 nb= 4 26.67% théorique 25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6 nb= 4 26.67% théorique 25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7 nb= 3 20.00% théorique 16% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8 nb= 1 6.67% théorique 7% |HHHHHHH
Classe 9 nb= 0 0.00% théorique 2% |
Classe 10 nb= 0 0.00% théorique 0.35% |

Petit ajout, si un élève espère une note, c'est son problème, mais dans tous les cas il ferait mieux d'apprendre les opération élémentaires, plutôt que d'espérer un miracle.

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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par Dlzlogic le Mer 10 Jan - 11:50

Bonjour,
Je relance ce sujet. Voilà ce que ne comprend pas le demandeur (sic):
comment recontruire toutes les donnees ede maniere a caluculer la moyenne

Par ailleurs, il est aussi question de "enseignement de statistique inferentielle apres l'exammen. un sondage aupres d'un echantillon d'etudiant de L2".
Donc, je me pose sérieusement la question : en statistique "inférentielle" utiliserait-on d'autre lois que celles des probabilités ? Que peut-on entendre par "reconstruire toutes les données ..." ?
Il est vrai que lorsqu'on fait un amalgame entre résultat de comptage et numéro d'ordre des évènements comptés, il faut s'attendre à ce que les élèves soient totalement perdus.
Un petit coup d’œil sur le NET montre que l'expression "statistique inférentielle" est une expression simplement plus moderne que "statistique mathématique". On peut lire aussi ces phrases comme "L’espérance est également appelée moyenne et notée dans ce cas μX".
Je me demande ce que peut penser un élève qui lit la définition de l'espérance : la moyenne arithmétique.

@ Nuage, si tu veux respecter tes bonnes résolutions pour 2018, tu as là une occasion parfaite.
Bonne journée.
.
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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par Dlzlogic le Mer 10 Jan - 13:40

@ Nuage,
Cette affirmation de Pascal doit bien te rappeler quelque-chose ?
"NB : la correction du biais est en théorie dépendant de la répartition."
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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

Message par Dlzlogic le Ven 12 Jan - 14:50

Bonjour,
On peut réellement se demander si les cours de math consistent à apprendre les maths ou à utiliser une calculette.
Je cite la dernière intervention de Pascal :
Pascal a écrit:A la calculatrice "stat", on entre les données puis "1 var stat".

moyenne (9,8-8,6-9,7-10,2-8,9-10,1-9,9-9,7-8,7-9,8-10,2-9,3-10,4-9,5-10,9 ) = ?

pour l'écart type, il y a écratypep sur les tableurs, c'est .
et ecarttype, sans biais, c'est s

que vaut s sur la calculette ?

Au passage, certains profs appellel
s : l'écart type de l'écahntillon
sigma : celui de la population.

Mais sur la calculette sigma est est l'écart type biaisé de l’échantillon, soit sigma pour l’échantillon et s sur la calculette est l'écart type non biaisé, c'est à dire l'estimateur de sigma sur la population. Les deux sont alors inversés.

Bien sûr, on peut utiliser la calculette. Si on doit faire une somme de 15 nombres, on additionne les 15 nombres (utilisation de la touche '+') et on divise par 15.
Pour l'écart type, là il vaut mieux prendre un papier et un crayon :
1- pour chaque valeur on calcule la différence à la moyenne et on élève au carré.
2- on ajoute tous les carrés et on divise par (15-1) = 14. En effet, les écarts sont calculés par rapport à la moyenne observée et non à la moyenne vraie. En langage mathématique codé, on obtient un résultat sans biais dans le cas présent. Si on avait divisé par 15 on aurait obtenu un résultat faux.
3- on prend la racine carrée de ce nombre et on obtient l'écart-type. Si on veut la variance, on élève l'écart-type au carré.
Naturellement il n'y a pas plusieurs écart-types. L'écart-type correspond à un ensemble de mesures, suivant une procédure, et ce n'est certainement pas "au choix suivant les habitudes du professeur".
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Re: Un exercice avec un dé à 6 faces

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