A propos du Théorème Central Limite

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A propos du Théorème Central Limite

Message par Dlzlogic le Dim 3 Déc - 13:01

Bonjour,
En matière de probabilités, il y a le théorème le plus important : le TCL. Je voudrais tenter d'éclaircir un peu le sujet.
Quand, il y a plusieurs années, j'ai commencé à parler de probabilités sur les forum, on m'a opposé le TCL. C'était un nom que je ne connaissais pas. J'ai comparé terme à terme, d'une part ce que je disais, d'autre part les termes du TCL, c'était pareil. Mais naturellement cela n'a pas empêché certains de me rétorquer "t'as rien compris au TCL".
Dernièrement j'ai relu l'article de Wiki et oh surprise, la définition du TCL avait été changée. Autant elle était parfaitement claire il y a quelques années, autant elle est actuellement parfaitement incompréhensible.
Wikipédia a écrit:établit la convergence en loi de la somme d'une suite de variables aléatoires
"convergence en loi" : je ne comprends pas.
"Somme d'une suite de VA" : ça ne veut rien dire, à la rigueur la moyenne des résultats d'une VA, mais pourquoi DES variables aléatoires ?

Je suis tombé dernièrement sur un cours qui explique que un évènement peut résulter d'une quantité de causes différentes. Chaque cause étant une variable aléatoire, d'où un certain nombre de variables aléatoires qui "s'ajoutent". Mais il ne s'agit en aucun cas d'addition, ces variables se combinent avec leur valeur instantanée correspondant à l'évènement.  

En fait, le TCL est très simple : soit une expérience de même loi, c'est à dire, on ne sais pas très bien la "loi", mais on fait toujours pareil, on appelle µ la moyenne des résultats de l'expérience, alors la répartition des écarts à µ est celle de la loi normale.
Un exemple très simple : soit un seuil de maison, ou les marches d'un escalier, suffisamment ancien pour être usés. L'expérience est l'usure des marches, la loi est le passage de gens durant des siècles avec des chaussures de marque inconnue. On considère que le matériau constitutif des marches est de bonne qualité et homogène. Alors, la forme de l'usure respecte exactement la forme de la courbe de Gauss, représentative de la loi normale. Ceci est très facile à observer, même sur des chemins creux.    
[HS]On m'a déjà rétorque que cette forme d'usure était très proche d'une sinusoïde. Bel exemple de mauvaise foi.[/HS]
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Re: A propos du Théorème Central Limite

Message par Dattier le Lun 4 Déc - 22:48

Dlzlogic a écrit:En fait, le TCL est très simple : soit une expérience de même loi, c'est à dire, on ne sais pas très bien la "loi", mais on fait toujours pareil, on appelle µ la moyenne des résultats de l'expérience, alors la répartition des écarts à µ est celle de la loi normale.

Salut,

Ok, je crois comprendre ton point de vue, et si ta moyenne ne converge pas, tu fais comment ?

Cordialement.

Dattier
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Re: A propos du Théorème Central Limite

Message par Dlzlogic le Mar 5 Déc - 11:19

Bonjour,
Sauf des cas tordus comme la loi de Cauchy, la moyenne converge toujours.
En fait, la loi de Cauchy est le type de contre-exemple qui ne fait que "démontrer" qu'un phénomène vrai est "faux". D'ailleurs, si on l'applique à un ensemble "non-infini", alors elle converge. Mais ceci est un cas très particulier que je tiens à signaler pour mémoire.

Donc, dans tous les cas du contexte réel, à l'exclusion du contexte de mécanique quantique, toute suite de mesures ou d'observations de même loi converge vers la moyenne arithmétique et la répartition des écarts à la moyenne est conforme à la répartition normale.

Il y a des cas un peu particuliers, par exemple lorsque l'évènement mesuré est la fin d'une exercice. C'est la loi géométrique ou la loi exponentielle. On a eu plusieurs exemples dernièrement, les 2 cartes pour 5 personnes autour d'une table, les 7 bougies.
Dans ce cas, la réponse est en fait "on a fini ou pas", c'est à dire deux issues. Si on fait un grand nombre de cette "expérience", alors cela converge vers une moyenne. Certains se sont amusés à calculer ce nombre "moyen", mais comme je l'ai expliqué, cette "moyenne" n'est pas intéressante, ce qui est intéressant, c'est la médiane.

Pour en revenir à ta question, sauf des cas tordus, la moyenne converge toujours. D'ailleurs, c'est ce que de nombreux matheux n'ont pas compris, par exemple Olivier Garet. On ne peut pas réaliser une expérience aléatoire et de même loi (vulgairement avec une va iid) qui ne converge pas et dont la répartition des écarts à la moyenne n'est pas normale. C'est comme ça, on n'y peut rien.  

Il ne s'agit pas de "mon point de vue" il s'agit de la réalité des faits. Tout ce qui découle des probabilités, statistiques, problèmes relatifs à la mesure etc. est basé sur cela. Je sais bien que Kolmogorov a tout démonté et a utilisé le terme "probabilités" à la place de "proportions", mais c'est pas de ma faute.  

D'ailleurs, pour vérifier cela, j'ai mis au point une petite expérience où l'on n'utilise que pile ou face, que l'on peut simuler avec n'importe que générateur, même ceux que je mets en cause quelque-fois. Cette expérience contredit parfaitement et sans discussion possible les affirmations de Olivier Garet, mais elle est tout à fait d'accord avec ce que dit l'EN.
Petit [HS], j'ai lu divers cours de l'université de Lyon, en particulier celui d'un certain Jean-François Delmas, et il me semble bien que un certain Cédric V. député et mathématicien, a un post important dans le domaine universitaire de cette Ville. Les auteurs de ces cours ignorent ces notion élémentaires concernant les probabilités. On peut imaginer un certain scénario : les documents corrects écrit pas l'EN seront mis au cabinet, et les vrais utilisateurs en seront réduits à faire un enseignement parallèle, qui deviendra automatiquement illégal. On observera donc un schisme en mathématique.    

Cordialement.

PS. C'est amusant il y a justement un exemple aujourd'hui.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?13,1576586
Ces chiffres ne correspondent pas à une va iid. Je ne sais pas pourquoi, et comme ce forum m'est interdit, je ne peux pas poser la question.
En d'autres termes, il n'est pas possible que ces fuites constatées de façon identiques. Je dirai plutôt quelque-chose du genre : "on a une commande on réalise la fabrication, puis, on mesure la perte d'huile". La loi observée est la loi exponentielle, et non la loi normale.
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Re: A propos du Théorème Central Limite

Message par Dlzlogic le Mar 5 Déc - 13:29

Bon, vu la réponse du demandeur, il ne semble pas qu'il y ait d'erreur de manipulation. La seule critique que l'on puisse faire est le nombre un peu trop faible de mesures, d'autant qu'il y a pas mal de paramètres qui interviennent.

Code:
Nombre de valeurs = 50  valeur minimale =0.14 valeur maximale=39.94
Rapport Emq/Ema = 1.35 Théorique = 1.25
la valeur 39.939999 rang 41 est douteuse
Nombre = 50  Moyenne = 7.66  emq=7.81  ep=5.21

Classe 1  nb=   0  0.00%  théorique 0.35% |
Classe 2  nb=   0  0.00%  théorique 2%    |
Classe 3  nb=   0  0.00%  théorique 7%    |
Classe 4  nb=  15  30.00%  théorique 16%  |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  18  36.00%  théorique 25%  |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=   6  12.00%  théorique 25%  |HHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=   6  12.00%  théorique 16%  |HHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=   3  6.00%  théorique 7%    |HHHHHH
Classe 9  nb=   1  2.00%  théorique 2%    |HH
Classe 10 nb=   1  2.00%  théorique 0.35% |HH

Il y a tout de même un point intéressant :
La perte en elle-même est due au fait les tuyaux doivent se remplir, mais il reste toujours des bulles d’air (plus on arrive à en chasser, plus la perte observée est grande)
Cela correspond exactement au schéma de la loi exponentielle.

En d'autres termes, cet exemple n'est pas une bonne illustration du TCL, puisque manifestement on n'est pas dans un contexte va iid.
La réponse de G. est fausse. il ne faut pas considérer l'écart donné par 3 écart-type, puisque l'écart-type n'a de sens que pour une répartition normale. On peut dire sans trop de risque que au delà de 50 kg c'est très probablement une fuite.


Dernière édition par Dlzlogic le Mer 6 Déc - 10:35, édité 1 fois
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Re: A propos du Théorème Central Limite

Message par Dlzlogic le Mer 6 Déc - 10:33

Bonjour,
C'est tout de même curieux, les probabilités sont enseignées par des profs de math et à lire les différentes questions, soit énoncés d'exercice, soit problèmes réels, ce sont eux les moins bien informés.
On a des exemples tous les jours. Les matheux seraient-ils formatés pour être incapables de comprendre certaines choses et surtout incapable d'argumenter valablement lorsqu'ils ne comprennent pas, ou ignorent ou, tout simplement, ne sont pas d'accord ?
Pour simplifier et caricaturer, soit le prof comprend la question et sa réponse sera souvent "apprend ton cours", soit le prof n'a pas compris la question alors la réponse sera généralement "la question est mal rédigée".
Bonne journée.
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Re: A propos du Théorème Central Limite

Message par Dlzlogic le Mer 6 Déc - 12:44

Bonjour,
Voila un très bon exemple d'énoncé clair et simple.
http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/807629-proportionnalite-test-dhypothese.html
On a une liste de couples (X, Y), l'énoncé demande de tester la proportionnalité de X et Y, c'est à dire si le rapport X/Y est constant dans une proportion acceptable.
Une méthode simple est de calculer, pour chaque couple, ce rapport. Si les 30 valeurs calculées on une répartition normale, alors la réponse est OUI.
La méthode de régression est intéressante aussi, mais pourquoi supprimer le paramètre A ? Je ne vois pas vraiment de justification.
Une fois la fonction y = A + Bx établie, il suffit de calculer toutes les valeurs Yi avec cette formule, puis calculer les écarts, la moyenne des écarts, l'écart-type etc.
Personnellement je n'ai pas été convaincu par les réponses des intervenants.
Tant pis si je me répète. Il ne faut pas oublier que toutes les méthodes de test, de calcul de régression etc. sont basées sur les notions élémentaires des probabilités (postulat de la moyenne, loi des grands nombres et loi normale). Avant d'utiliser des formules, exemple la covariance, il faut savoir ce que ça représente.
Il y a un point dont on ne parle pas souvent, c'est la comparaison par rapport à d'autres situations. Il y a ce fameux syndrome des 5% qui ne se justifie pas. Ce qui est important, c'est la vérification de la normalité. J'ai déjà évoqué ce sujet. Dans le cas de régression linéaire, c'est le coefficient de détermination R² qui est utilisé.
La lecture de l'article de Wikipédia est assez édifiante.
Je n'ai pas le même formule (que j'utilise depuis 35 ans) et j'ai la flemme de vérifier leur équivalence.
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