Revenus et assurance-vie

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Revenus et assurance-vie

Message par Dlzlogic le Jeu 30 Nov - 17:20

Bonjour,
Voila un exercice qui sort un peu de l'ordinaire :
https://www.maths-forum.com/superieur/test-hypothese-regression-lineaire-t190319.html
Pour mémoire, le même énoncé a été posté sur 3 forum et il n'y a eu qu'une seule réponse.
Je cite la question N°3 :
Quel est l’écart-type de l’estimé à la question 2 et comment utilisez-vous cet écart-type
pour construire un intervalle de confiance et faire des tests d’hypothèses ?
Il me parait utile de rappeler ce qu'est l'écart-type et son intérêt. Soit une série de mesures d'une même chose, la moyenne arithmétique est la valeur adoptée, puisque c'est la plus probable, l'écart-type est un nombre caractérisant la précision, c'est à dire la dispersion de l'ensemble des mesures. Pour un certain nombre de raisons, on utilise l'écart-type, mais on aurait pu aussi bien utiliser l'écart moyen arithmétique ou l'écart probable, puisque les rapport entre ces différentes unités sont connus.
Dans le cas présent, la "mesure" concernée  est "la variation du montant d'assurance vie lorsque X augmente".
Pour les 20 familles, on connait le montant des revenus Xi et celui de l'assurance-vie Yi.
La formule de calcul donne pour chaque famille un montant Y estimé. Pour chaque famille l'écart est (Ye-Yi), ce qui permet de calculer l'écart-type. Attention, le diviseur est 19 et non 20, puisque la moyenne utilisée est une moyenne calculée et non une valeur vraie.
Comme on s'intéresse à la variation de l'assurance en fonction de la variation du revenu, on ignore la constante dans la formule de Y, il en résulte que l'écart-type sur la variation est proportionnel à l'écart-type sur la détermination de la fonction Y.

Le raisonnement de M. est le suivant : la valeur mesurée, outre la constante additionnelle est le facteur (a) de X.
On peut donc calculer la moyenne du paramètre a et son écart-type. Pour calculer a moyen, il faut écrire tous les ai = (Yi - Cste)/Xi et en prendre la moyenne qui ne sera probablement pas identique à la valeur calculée par régression.    

En fait, ce sont deux approches très différentes.
La première considère la variation pour une famille, là les lois de probabilités s'appliquent, puisque toutes les familles sont indépendantes et il n'y a aucun lien entre la variation de l'assurance en fonction de la variation des revenus. On peut approcher ou estimer la variation de l'assurance en fonction de la variation du coût de la vie ou d'un autre critère, appliqué à toutes les familles, mais individuellement, il est très peu probable que une famille choisisse une assurance en fonction directe de ses revenus.
Le seconde approche est purement mathématique où on admet que les écarts entre familles obéissent strictement à des contextes aléatoires.

Je crois que l'énoncé de cet exercice aurait dû préciser le caractère strictement aléatoire de la relation revenus -> assurance vie.  
Ce serait intéressant d'avoir d'autres avis. Par ailleurs, il faut remarquer qu'une statistique sur un si petit nombre de cas est peu crédible.
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