Souffler 7 bougies d'un gâteau.

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Souffler 7 bougies d'un gâteau.

Message par Dlzlogic le Dim 19 Nov - 17:26

Bonjour,
https://www.maths-forum.com/enigmes/bougies-souffler-facon-aleatoire-t190025.html
Encore un exemple de problème bien posé mais de mauvaise réponse.
On est exactement dans le contexte du type "durée de vie". C'est à dire que le processus aléatoire est bien défini, sauf que la fin de ce processus est aléatoire. La fonction qui représente cela est une fonction exponentielle (ou géométrique). On peut toujours calculer une moyenne, mais cela n'a pas beaucoup de sens. Par contre, ce qui a un sens, c'est la médiane, c'est à dire l'espérance.
Dans le cas présent, la dispersion est très grande, raison de plus de non validité de la moyenne arithmétique.
Voici différents essais
Nombre d'essais pour souffler 7 bougies

Nombre = 100 Moyenne = 130.58 emq=113.48 ep=75.65
Médiane = 92 min= 6 max=612

Nombre = 100 Moyenne = 192.90 emq=185.85 ep=123.90
Médiane = 148 min= 8 max=948

Nombre = 100 Moyenne = 159.56 emq=151.52 ep=101.02
Médiane = 122 min= 6 max=766

Nombre = 100 Moyenne = 175.34 emq=142.24 ep=94.83
Médiane = 122 min= 8 max=630
Classe 1 nb= 0 0.00% théorique 0.35% |
Classe 2 nb= 0 0.00% théorique 2% |
Classe 3 nb= 0 0.00% théorique 7% |
Classe 4 nb= 36 36.00% théorique 16% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5 nb= 21 21.00% théorique 25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6 nb= 21 21.00% théorique 25% |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7 nb= 10 10.00% théorique 16% |HHHHHHHHHH
Classe 8 nb= 7 7.00% théorique 7% |HHHHHHH
Classe 9 nb= 3 3.00% théorique 2% |HHH
Classe 10 nb= 2 2.00% théorique 0.35% |HH

Je pense qu'il est important que les élèves et étudiants prennent conscience de cela.
Il est évident que les décimales qui sont affichées n'ont aucun sens, mais j'utilise une fonction générale pour l'affichage.
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Re: Souffler 7 bougies d'un gâteau.

Message par Dlzlogic le Lun 20 Nov - 14:33

Bonjour,
Autant détailler le problème. Il y a plusieurs points que je voudrais préciser.
D'abord, il y a une grande confusion dans l'utilisation du terme "espérance".
La vraie définition mathématique, c'est le produit de la probabilité par le gain. Dans le cas présent, le "gain" peut être considéré comme le temps qu'il a fallu pour éteindre les 7 bougies. En d'autre termes, si un convive "parie moins de 550 secondes (110 étapes)" il a une chance sur deux de gagner. C'est à dire l'espérance est 110 étapes et non 161.

Dans le cas présent, l'issue de l'expérience est "les 7 bougies sont soufflées OUI ou NON", c'est donc binaire.
Dans de nombreux cas de processus aléatoires, l'espérance est effectivement la moyenne arithmétique des résultats. Le processus étudié ici est un processus "sans mémoire", c'est à dire que les résultats précédents n'influent pas sur les résultats suivants. C'est le calcul de durée de vie, souvent utilisé pour des ampoules électriques, par exemple.

Considérons maintenant l'expérience suivante "on a 100 gâteux d'anniversaire, soit 5 classe de maternelle et on joue à éteindre les bougies, comment se répartissent les nombres d'étapes ?". Dans ce contexte, on peut calculer deux valeurs numériques, la moyenne du nombre d'étapes et la médiane. Si on répète cette expérience pour toutes les chasses de maternelle de France, alors on aura deux ensembles de résultats la liste des moyennes et la liste des médianes. On est dans le contexte bien connu d'une même expérience répétée un certain nombre de fois et on peut vérifier la répartition normale classique. Voir ci-dessous :

Code:
Répartition de la médiane pour souffler 7 bougies
Nombre = 100  Moyenne = 113.76  emq=13.27  ep=8.85
Médiane = 113  min= 87  max=153
Classe 1  nb=  0  0.00%     théorique 0.35%    |
Classe 2  nb=  1  1.00%     théorique    2%    |H
Classe 3  nb=  7  7.00%     théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 4  nb=  15  15.00%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  27  27.00%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  23  23.00%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  17  17.00%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  8  8.00%     théorique    7%    |HHHHHHHH
Classe 9  nb=  1  1.00%     théorique    2%    |H
Classe 10 nb=  1  1.00%     théorique 0.35%    |H

Répartition de la moyenne pour souffler 7 bougies
Nombre = 100  Moyenne = 158.90  emq=16.47  ep=10.98
Médiane = 157  min= 123  max=198
Classe 1  nb=  0  0.00%     théorique 0.35%    |
Classe 2  nb=  2  2.00%     théorique    2%    |HH
Classe 3  nb=  6  6.00%     théorique    7%    |HHHHHH
Classe 4  nb=  17  17.00%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  27  27.00%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  19  19.00%     théorique  25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  21  21.00%     théorique  16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  7  7.00%     théorique    7%    |HHHHHHH
Classe 9  nb=  1  1.00%     théorique    2%    |H
Classe 10 nb=  0  0.00%     théorique 0.35%    | 
(à suivre)
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Re: Souffler 7 bougies d'un gâteau.

Message par Dlzlogic le Lun 20 Nov - 17:19

(suite)
Indépendamment du problème précis dont il s'agit, il a été fait une simulation avec un très grand nombre de tirages. Ceci sous-entend l'application de la loi des grands nombres.
On peut l'exprimer ainsi : "soit un grand nombre d'expériences, la moyenne tend vers la probabilité." Il s'agit naturellement d'une partie du TCL, cela sous-entend "converger symétriquement". C'est juste un petit rappel concernant la convergence d'une suite résultant de tirage de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (va iid). Mais ceci est parfaitement clair pour presque tout le monde.

Le point qui me parait important concerne le fait qu'il y ait une simulation unique d'un très grand nombre d'expériences.
Il est largement préférable de faire plusieurs simulations sur des nombres plus petits d'expériences. En effet, pour chaque simulation, on peut calculer la valeur minimum, la valeur maximum, la moyenne, l'écart-type etc. et comparer les différentes simulations entre elles. Il ne s'agit en aucun de "vérification", mais d'avoir une idée de la dispersion. Dans le cas présent des 7 bougies, la valeurs obtenues vont de 7 à 700 étapes, ce qui est une dispersion très importante et ce résultat aurait dû attirer l'attention.

D'autre part, mes simulations ont une différence d'environ 2% avec celle qui a été faite. Ce n'est pas énorme, mais comme j'observe cet écart régulièrement, j'aimerai bien en connaitre la raison. Si ce point précis intéresse quelqu'un, ce serait intéressant de définir un protocole et de faire des essais pour comparer les résultats. Il sera temps, ensuite, d'en chercher la cause si mes observations se confirment.
Merci d'avance à ceux qui voudront bien participer.
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Re: Souffler 7 bougies d'un gâteau.

Message par Dlzlogic le Sam 2 Déc - 21:51

Bonsoir,
Je remonte ce sujet. Il y a une intervention très intéressante et parfaitement justifiée d'un membre, probablement un peu trop rigoureux, et une réaction tout à fait surprenante de BenPi. J'ai dit surprenante mathématiquement, mais malheureusement assez habituelle de la part de BenPi.
Voyons si des matheux sérieux réagissent !
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Re: Souffler 7 bougies d'un gâteau.

Message par Dlzlogic le Dim 3 Déc - 13:10

Bonjour,
D'abord, j'ai regardé la répartition des résultats donnée. Malheureusement il n'y a que 14 valeurs, donc, je m'interdirai de tirer toute conclusion définitive.
Code:
Nombre de valeurs = 14  valeur minimale =1.48 valeur maximale=2.78
Rapport Emq/Ema = 1.21 Théorique = 1.25
Nombre = 14  Moyenne = 2.05  emq=0.37  ep=0.24

Classe 1  nb=  0  0.00%  théorique 0.35%    |
Classe 2  nb=  0  0.00%  théorique 2%    |
Classe 3  nb=  1  7.14%  théorique 7%    |HHHHHHHH
Classe 4  nb=  3  21.43%  théorique 16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 5  nb=  3  21.43%  théorique 25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 6  nb=  3  21.43%  théorique 25%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 7  nb=  3  21.43%  théorique 16%    |HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Classe 8  nb=  1  7.14%  théorique 7%    |HHHHHHHH
Classe 9  nb=  0  0.00%  théorique 2%    |
Classe 10 nb=  0  0.00%  théorique 0.35%    |
 
On remarque la "régularité" des résultats, ce qui est contraire à toutes les lois de probabilités. Donc, je soupçonne très fort l'utilisation d'un langage spécialisé mathématique comme Matlab, Scilab dont le générateur de nombre aléatoire est incorrect.

Bonne journée.
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