généralisation de la dimension : les espace datoriels

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généralisation de la dimension : les espace datoriels

Message par Dattier le Ven 14 Déc - 8:41

Salut,

On dit que A munit de la structure S possède une dimension si $A=<u_1,...,u_n>_S$, avec $\forall (v_1,..,v_{n+1}) \in A^{n+1}$ il existe $i \in \{1,..,n+1\}$ tel que $v_i \in <v_k \text{ | } k\in \{1,..,n+1\} \text{ et } k\neq i >_S$

Soit $B$ une structure S,et $u_i \in B$, on note $<u_1,...,u_n>_S$ la plus petite structure S contenant les $u_i$.

Ainsi $(\mathbb Z,+)$ avec comme structure de groupe n'a pas de dimension, les espaces vectoriels ont une dimension (la classique), les modules, un ensemble fini posséde une dimension...

Je viens d'inventer une nouvelle notion de dimension.

Définition un espace Datoriel, est un ensemble munit d'une structure qui possède une dimension.

Fin, merci pour votre lecture attentive.

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Re: généralisation de la dimension : les espace datoriels

Message par Dattier le Ven 14 Déc - 9:58

A noter que :

Une structure S, est couple (X,T) avec X un ensemble et T un ensemble d'ensemble de X, stable par intersection quelconque.

Soit $(u_1,...u_n) \in X^n$ on note $<u_1,...,u_n>_S= \bigcap \limits_{F \in T, \{u_1,...u_n\}\subset F} F$

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Re: généralisation de la dimension : les espace datoriels

Message par Dattier le Sam 15 Déc - 8:42

Bonjour,

https://mathoverflow.net/questions/317668/a-new-generalization-of-the-dimension

Alex Kruckman X:={{},{0},{0,1}} propose un exemple à méditer.

Mais ce qui compte pour une théorie, ce sont les applications et je pense qu'en l'état elle peut être prolifique, donc je vais chercher des applications et les publier ici.

Bonne journée.

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Re: généralisation de la dimension : les espace datoriels

Message par Dattier le Sam 15 Déc - 8:45

je copie ici la correction que j'ai faîtes :

**Definition 1:** A structure S, is a pair (X, T) with X a set and T a set of sets on X, stable by any intersection, with $X \in T$ and $\emptyset \not\in T$, and $O_T$ the smallest set of T.



**Definition 2:** Let $(u_1, ... u_n) \in X ^ n$ we denote
$<u_1, ..., u_n>_S=\bigcap \limits_{F \in T, \{u_1, ... u_n \} \subset F} F$



**Definition 3:** We say that S=(X,T) a structure has a dimension if :

$ \forall n \in \mathbb N^*, \forall (u_1,...,u_n) \in X^n,$ and $A=<u_1, ..., u_n>_S neq O_T$, with $\forall (v_1, .., v_ {n + 1}) \in A^{ n + 1}$ there exists $i \in \{1, .., n + 1 \} $ such that $v_i \in <v_k \text{ | } k \in \{1, .., n + 1 \} \text{ and } k \neq i>_S $

**Question:** Is this generalization of the dimension already existing?

PS : in this case, a set E have a dimension, with the structure (E,P(E))

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Re: généralisation de la dimension : les espace datoriels

Message par Dattier le Sam 15 Déc - 13:20

Alors que j'allais corriger, on a une maintenance de mathoverflow :

En fait il suffit d'ajouter la condition :

(ii): $\forall a,b \in X, \langle a \rangle_S = \langle b \rangle_S$ or $\langle a \rangle_S \cap \langle b \rangle_S= O_{\mathcal T}$

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Re: généralisation de la dimension : les espace datoriels

Message par Dattier le Sam 15 Déc - 13:21

Je remets ici, au cas ou la voleuse préapare encore un vol :

During my research, I came a cross on these notions :

> **Definition 1:** A structure $S$, is a pair $(X, \mathcal T)$ with $X$ a set and $\mathcal T$ a set of subsets of $X$, stable by arbitrary intersections, with $X \in  \mathcal T$ and $O_{\mathcal T}=\bigcap\limits_{F\in\mathcal T} F$ the smallest set of $\mathcal T$.

>

> **Definition 2:** Let $U \subset X$ we denote
>$\langle U\rangle_S=\bigcap \limits_{F \in \mathcal T, U \subset F} F$

>

>**Definition 3:** We say that $S=(X,\mathcal T)$ a structure has a dimension if :

>(i) $ \forall U \subset X,U\neq \emptyset, U \cap O_{\mathcal T}= \emptyset$ and  $A=\langle U\rangle_S$,
>
>with $\forall V \subset A, V \cap O_{\mathcal T}=\emptyset$ , $\text{card}(V)>\text{card}(U)$, $\exists v_o \in V $
>
such that $v_o \in \langle v \text{ | } v \in V \text{ and } v \neq v_o\rangle_S $
>
(ii): $\forall a,b \in X, \langle a \rangle_S = \langle b \rangle_S$ or $\langle a \rangle_S \cap \langle b \rangle_S= O_{\mathcal T}$

>
>**Question:** Is this generalization of the dimension already existing?

PS : in this case, a set $E$ has a dimension, with the structure $(E,\mathcal P(E) )$.

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Re: généralisation de la dimension : les espace datoriels

Message par Dattier le Sam 15 Déc - 13:25

J'espère que je vais pouvoir compléter ma découverte, en effet impossible de me connecter.

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Re: généralisation de la dimension : les espace datoriels

Message par Dattier le Sam 15 Déc - 13:39

Pas besoin du (ii), la définition est trés bien comme cela.

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Re: généralisation de la dimension : les espace datoriels

Message par Dattier le Dim 16 Déc - 8:32

Bonjour,

Je pense avoir trouvé ce qui clôche, c'est dans $O_{\mathcal T}$ :

Il faut d'abord définir $\mathcal U=\{ A \in \mathcal T\text{ | } \forall C \in \mathcal T, A\subset C\text{ or } C \subset A \}$

$O_{\mathcal T}= \bigcup \limits_{F \in \mathcal U} F$

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Re: généralisation de la dimension : les espace datoriels

Message par Dattier le Dim 16 Déc - 8:50

Il faut encore nettoyer, il faut réduire la longueur des branches en rapprochant les noeuds.

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Re: généralisation de la dimension : les espace datoriels

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