Intervension bizarre à propos de la loi normale.

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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par leon1789 le Jeu 31 Aoû - 21:09

D'abord la liste des 10 000 premières décimales de Pi :
Code:
decimales :=
[1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 5, 0, 2, 8, 8, 4, 1, 9, 7, 1, 6, 9, 3, 9, 9, 3, 7, 5, 1, 0, 5, 8, 2, 0, 9, 7, 4, 9, 4, 4, 5, 9, 2, 3, 0, 7, 8, 1, 6, 4, 0, 6, 2, 8, 6, 2, 0, 8, 9, 9, 8, 6, 2, 8, 0, 3, 4, 8, 2, 5, 3, 4, 2, 1, 1, 7, 0, 6, 7, 9, 8, 2, 1, 4, 8, 0, 8, 6, 5, 1, 3, 2, 8, 2, 3, 0, 6, 6, 4, 7, 0, 9, 3, 8, 4, 4, 6, 0, 9, 5, 5, 0, 5, 8, 2, 2, 3, 1, 7, 2, 5, 3, 5, 9, 4, 0, 8, 1, 2, 8, 4, 8, 1, 1, 1, 7, 4, 5, 0, 2, 8, 4, 1, 0, 2, 7, 0, 1, 9, 3, 8, 5, 2, 1, 1, 0, 5, 5, 5, 9, 6, 4, 4, 6, 2, 2, 9, 4, 8, 9, 5, 4, 9, 3, 0, 3, 8, 1, 9, 6, 4, 4, 2, 8, 8, 1, 0, 9, 7, 5, 6, 6, 5, 9, 3, 3, 4, 4, 6, 1, 2, 8, 4, 7, 5, 6, 4, 8, 2, 3, 3, 7, 8, 6, 7, 8, 3, 1, 6, 5, 2, 7, 1, 2, 0, 1, 9, 0, 9, 1, 4, 5, 6, 4, 8, 5, 6, 6, 9, 2, 3, 4, 6, 0, 3, 4, 8, 6, 1, 0, 4, 5, 4, 3, 2, 6, 6, 4, 8, 2, 1, 3, 3, 9, 3, 6, 0, 7, 2, 6, 0, 2, 4, 9, 1, 4, 1, 2, 7, 3, 7, 2, 4, 5, 8, 7, 0, 0, 6, 6, 0, 6, 3, 1, 5, 5, 8, 8, 1, 7, 4, 8, 8, 1, 5, 2, 0, 9, 2, 0, 9, 6, 2, 8, 2, 9, 2, 5, 4, 0, 9, 1, 7, 1, 5, 3, 6, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 2, 5, 9, 0, 3, 6, 0, 0, 1, 1, 3, 3, 0, 5, 3, 0, 5, 4, 8, 8, 2, 0, 4, 6, 6, 5, 2, 1, 3, 8, 4, 1, 4, 6, 9, 5, 1, 9, 4, 1, 5, 1, 1, 6, 0, 9, 4, 3, 3, 0, 5, 7, 2, 7, 0, 3, 6, 5, 7, 5, 9, 5, 9, 1, 9, 5, 3, 0, 9, 2, 1, 8, 6, 1, 1, 7, 3, 8, 1, 9, 3, 2, 6, 1, 1, 7, 9, 3, 1, 0, 5, 1, 1, 8, 5, 4, 8, 0, 7, 4, 4, 6, 2, 3, 7, 9, 9, 6, 2, 7, 4, 9, 5, 6, 7, 3, 5, 1, 8, 8, 5, 7, 5, 2, 7, 2, 4, 8, 9, 1, 2, 2, 7, 9, 3, 8, 1, 8, 3, 0, 1, 1, 9, 4, 9, 1, 2, 9, 8, 3, 3, 6, 7, 3, 3, 6, 2, 4, 4, 0, 6, 5, 6, 6, 4, 3, 0, 8, 6, 0, 2, 1, 3, 9, 4, 9, 4, 6, 3, 9, 5, 2, 2, 4, 7, 3, 7, 1, 9, 0, 7, 0, 2, 1, 7, 9, 8, 6, 0, 9, 4, 3, 7, 0, 2, 7, 7, 0, 5, 3, 9, 2, 1, 7, 1, 7, 6, 2, 9, 3, 1, 7, 6, 7, 5, 2, 3, 8, 4, 6, 7, 4, 8, 1, 8, 4, 6, 7, 6, 6, 9, 4, 0, 5, 1, 3, 2, 0, 0, 0, 5, 6, 8, 1, 2, 7, 1, 4, 5, 2, 6, 3, 5, 6, 0, 8, 2, 7, 7, 8, 5, 7, 7, 1, 3, 4, 2, 7, 5, 7, 7, 8, 9, 6, 0, 9, 1, 7, 3, 6, 3, 7, 1, 7, 8, 7, 2, 1, 4, 6, 8, 4, 4, 0, 9, 0, 1, 2, 2, 4, 9, 5, 3, 4, 3, 0, 1, 4, 6, 5, 4, 9, 5, 8, 5, 3, 7, 1, 0, 5, 0, 7, 9, 2, 2, 7, 9, 6, 8, 9, 2, 5, 8, 9, 2, 3, 5, 4, 2, 0, 1, 9, 9, 5, 6, 1, 1, 2, 1, 2, 9, 0, 2, 1, 9, 6, 0, 8, 6, 4, 0, 3, 4, 4, 1, 8, 1, 5, 9, 8, 1, 3, 6, 2, 9, 7, 7, 4, 7, 7, 1, 3, 0, 9, 9, 6, 0, 5, 1, 8, 7, 0, 7, 2, 1, 1, 3, 4, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 8, 3, 7, 2, 9, 7, 8, 0, 4, 9, 9, 5, 1, 0, 5, 9, 7, 3, 1, 7, 3, 2, 8, 1, 6, 0, 9, 6, 3, 1, 8, 5, 9, 5, 0, 2, 4, 4, 5, 9, 4, 5, 5, 3, 4, 6, 9, 0, 8, 3, 0, 2, 6, 4, 2, 5, 2, 2, 3, 0, 8, 2, 5, 3, 3, 4, 4, 6, 8, 5, 0, 3, 5, 2, 6, 1, 9, 3, 1, 1, 8, 8, 1, 7, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 3, 1, 3, 7, 8, 3, 8, 7, 5, 2, 8, 8, 6, 5, 8, 7, 5, 3, 3, 2, 0, 8, 3, 8, 1, 4, 2, 0, 6, 1, 7, 1, 7, 7, 6, 6, 9, 1, 4, 7, 3, 0, 3, 5, 9, 8, 2, 5, 3, 4, 9, 0, 4, 2, 8, 7, 5, 5, 4, 6, 8, 7, 3, 1, 1, 5, 9, 5, 6, 2, 8, 6, 3, 8, 8, 2, 3, 5, 3, 7, 8, 7, 5, 9, 3, 7, 5, 1, 9, 5, 7, 7, 8, 1, 8, 5, 7, 7, 8, 0, 5, 3, 2, 1, 7, 1, 2, 2, 6, 8, 0, 6, 6, 1, 3, 0, 0, 1, 9, 2, 7, 8, 7, 6, 6, 1, 1, 1, 9, 5, 9, 0, 9, 2, 1, 6, 4, 2, 0, 1, 9, 8, 9, 3, 8, 0, 9, 5, 2, 5, 7, 2, 0, 1, 0, 6, 5, 4, 8, 5, 8, 6, 3, 2, 7, 8, 8, 6, 5, 9, 3, 6, 1, 5, 3, 3, 8, 1, 8, 2, 7, 9, 6, 8, 2, 3, 0, 3, 0, 1, 9, 5, 2, 0, 3, 5, 3, 0, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 8, 9, 9, 5, 7, 7, 3, 6, 2, 2, 5, 9, 9, 4, 1, 3, 8, 9, 1, 2, 4, 9, 7, 2, 1, 7, 7, 5, 2, 8, 3, 4, 7, 9, 1, 3, 1, 5, 1, 5, 5, 7, 4, 8, 5, 7, 2, 4, 2, 4, 5, 4, 1, 5, 0, 6, 9, 5, 9, 5, 0, 8, 2, 9, 5, 3, 3, 1, 1, 6, 8, 6, 1, 7, 2, 7, 8, 5, 5, 8, 8, 9, 0, 7, 5, 0, 9, 8, 3, 8, 1, 7, 5, 4, 6, 3, 7, 4, 6, 4, 9, 3, 9, 3, 1, 9, 2, 5, 5, 0, 6, 0, 4, 0, 0, 9, 2, 7, 7, 0, 1, 6, 7, 1, 1, 3, 9, 0, 0, 9, 8, 4, 8, 8, 2, 4, 0, 1, 2, 8, 5, 8, 3, 6, 1, 6, 0, 3, 5, 6, 3, 7, 0, 7, 6, 6, 0, 1, 0, 4, 7, 1, 0, 1, 8, 1, 9, 4, 2, 9, 5, 5, 5, 9, 6, 1, 9, 8, 9, 4, 6, 7, 6, 7, 8, 3, 7, 4, 4, 9, 4, 4, 8, 2, 5, 5, 3, 7, 9, 7, 7, 4, 7, 2, 6, 8, 4, 7, 1, 0, 4, 0, 4, 7, 5, 3, 4, 6, 4, 6, 2, 0, 8, 0, 4, 6, 6, 8, 4, 2, 5, 9, 0, 6, 9, 4, 9, 1, 2, 9, 3, 3, 1, 3, 6, 7, 7, 0, 2, 8, 9, 8, 9, 1, 5, 2, 1, 0, 4, 7, 5, 2, 1, 6, 2, 0, 5, 6, 9, 6, 6, 0, 2, 4, 0, 5, 8, 0, 3, 8, 1, 5, 0, 1, 9, 3, 5, 1, 1, 2, 5, 3, 3, 8, 2, 4, 3, 0, 0, 3, 5, 5, 8, 7, 6, 4, 0, 2, 4, 7, 4, 9, 6, 4, 7, 3, 2, 6, 3, 9, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 7, 2, 6, 0, 4, 2, 6, 9, 9, 2, 2, 7, 9, 6, 7, 8, 2, 3, 5, 4, 7, 8, 1, 6, 3, 6, 0, 0, 9, 3, 4, 1, 7, 2, 1, 6, 4, 1, 2, 1, 9, 9, 2, 4, 5, 8, 6, 3, 1, 5, 0, 3, 0, 2, 8, 6, 1, 8, 2, 9, 7, 4, 5, 5, 5, 7, 0, 6, 7, 4, 9, 8, 3, 8, 5, 0, 5, 4, 9, 4, 5, 8, 8, 5, 8, 6, 9, 2, 6, 9, 9, 5, 6, 9, 0, 9, 2, 7, 2, 1, 0, 7, 9, 7, 5, 0, 9, 3, 0, 2, 9, 5, 5, 3, 2, 1, 1, 6, 5, 3, 4, 4, 9, 8, 7, 2, 0, 2, 7, 5, 5, 9, 6, 0, 2, 3, 6, 4, 8, 0, 6, 6, 5, 4, 9, 9, 1, 1, 9, 8, 8, 1, 8, 3, 4, 7, 9, 7, 7, 5, 3, 5, 6, 6, 3, 6, 9, 8, 0, 7, 4, 2, 6, 5, 4, 2, 5, 2, 7, 8, 6, 2, 5, 5, 1, 8, 1, 8, 4, 1, 7, 5, 7, 4, 6, 7, 2, 8, 9, 0, 9, 7, 7, 7, 7, 2, 7, 9, 3, 8, 0, 0, 0, 8, 1, 6, 4, 7, 0, 6, 0, 0, 1, 6, 1, 4, 5, 2, 4, 9, 1, 9, 2, 1, 7, 3, 2, 1, 7, 2, 1, 4, 7, 7, 2, 3, 5, 0, 1, 4, 1, 4, 4, 1, 9, 7, 3, 5, 6, 8, 5, 4, 8, 1, 6, 1, 3, 6, 1, 1, 5, 7, 3, 5, 2, 5, 5, 2, 1, 3, 3, 4, 7, 5, 7, 4, 1, 8, 4, 9, 4, 6, 8, 4, 3, 8, 5, 2, 3, 3, 2, 3, 9, 0, 7, 3, 9, 4, 1, 4, 3, 3, 3, 4, 5, 4, 7, 7, 6, 2, 4, 1, 6, 8, 6, 2, 5, 1, 8, 9, 8, 3, 5, 6, 9, 4, 8, 5, 5, 6, 2, 0, 9, 9, 2, 1, 9, 2, 2, 2, 1, 8, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 0, 2, 5, 4, 2, 5, 6, 8, 8, 7, 6, 7, 1, 7, 9, 0, 4, 9, 4, 6, 0, 1, 6, 5, 3, 4, 6, 6, 8, 0, 4, 9, 8, 8, 6, 2, 7, 2, 3, 2, 7, 9, 1, 7, 8, 6, 0, 8, 5, 7, 8, 4, 3, 8, 3, 8, 2, 7, 9, 6, 7, 9, 7, 6, 6, 8, 1, 4, 5, 4, 1, 0, 0, 9, 5, 3, 8, 8, 3, 7, 8, 6, 3, 6, 0, 9, 5, 0, 6, 8, 0, 0, 6, 4, 2, 2, 5, 1, 2, 5, 2, 0, 5, 1, 1, 7, 3, 9, 2, 9, 8, 4, 8, 9, 6, 0, 8, 4, 1, 2, 8, 4, 8, 8, 6, 2, 6, 9, 4, 5, 6, 0, 4, 2, 4, 1, 9, 6, 5, 2, 8, 5, 0, 2, 2, 2, 1, 0, 6, 6, 1, 1, 8, 6, 3, 0, 6, 7, 4, 4, 2, 7, 8, 6, 2, 2, 0, 3, 9, 1, 9, 4, 9, 4, 5, 0, 4, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 3, 7, 8, 6, 9, 6, 0, 9, 5, 6, 3, 6, 4, 3, 7, 1, 9, 1, 7, 2, 8, 7, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 6, 5, 7, 5, 7, 3, 9, 6, 2, 4, 1, 3, 8, 9, 0, 8, 6, 5, 8, 3, 2, 6, 4, 5, 9, 9, 5, 8, 1, 3, 3, 9, 0, 4, 7, 8, 0, 2, 7, 5, 9, 0, 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2, 5, 0, 3, 9, 1, 2, 7, 5, 7, 7, 1, 0, 2, 8, 4, 0, 2, 7, 9, 9, 8, 0, 6, 6, 3, 6, 5, 8, 2, 5, 4, 8, 8, 9, 2, 6, 4, 8, 8, 0, 2, 5, 4, 5, 6, 6, 1, 0, 1, 7, 2, 9, 6, 7, 0, 2, 6, 6, 4, 0, 7, 6, 5, 5, 9, 0, 4, 2, 9, 0, 9, 9, 4, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 5, 2, 6, 5, 3, 0, 5, 3, 7, 1, 8, 2, 9, 4, 1, 2, 7, 0, 3, 3, 6, 9, 3, 1, 3, 7, 8, 5, 1, 7, 8, 6, 0, 9, 0, 4, 0, 7, 0, 8, 6, 6, 7, 1, 1, 4, 9, 6, 5, 5, 8, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 7, 6, 9, 3, 3, 8, 5, 7, 8, 1, 7, 1, 1, 3, 8, 6, 4, 5, 5, 8, 7, 3, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 0, 1, 4, 5, 8, 7, 6, 8, 7, 1, 2, 6, 6, 0, 3, 4, 8, 9, 1, 3, 9, 0, 9, 5, 6, 2, 0, 0, 9, 9, 3, 9, 3, 6, 1, 0, 3, 1, 0, 2, 9, 1, 6, 1, 6, 1, 5, 2, 8, 8, 1, 3, 8, 4, 3, 7, 9, 0, 9, 9, 0, 4, 2, 3, 1, 7, 4, 7, 3, 3, 6, 3, 9, 4, 8, 0, 4, 5, 7, 5, 9, 3, 1, 4, 9, 3, 1, 4, 0, 5, 2, 9, 7, 6, 3, 4, 7, 5, 7, 4, 8, 1, 1, 9, 3, 5, 6, 7, 0, 9, 1, 1, 0, 1, 3, 7, 7, 5, 1, 7, 2, 1, 0, 0, 8, 0, 3, 1, 5, 5, 9, 0, 2, 4, 8, 5, 3, 0, 9, 0, 6, 6, 9, 2, 0, 3, 7, 6, 7, 1, 9, 2, 2, 0, 3, 3, 2, 2, 9, 0, 9, 4, 3, 3, 4, 6, 7, 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6, 0, 8, 0, 0, 7, 1, 9, 3, 0, 4, 5, 7, 6, 1, 8, 9, 3, 2, 3, 4, 9, 2, 2, 9, 2, 7, 9, 6, 5, 0, 1, 9, 8, 7, 5, 1, 8, 7, 2, 1, 2, 7, 2, 6, 7, 5, 0, 7, 9, 8, 1, 2, 5, 5, 4, 7, 0, 9, 5, 8, 9, 0, 4, 5, 5, 6, 3, 5, 7, 9, 2, 1, 2, 2, 1, 0, 3, 3, 3, 4, 6, 6, 9, 7, 4, 9, 9, 2, 3, 5, 6, 3, 0, 2, 5, 4, 9, 4, 7, 8, 0, 2, 4, 9, 0, 1, 1, 4, 1, 9, 5, 2, 1, 2, 3, 8, 2, 8, 1, 5, 3, 0, 9, 1, 1, 4, 0, 7, 9, 0, 7, 3, 8, 6, 0, 2, 5, 1, 5, 2, 2, 7, 4, 2, 9, 9, 5, 8, 1, 8, 0, 7, 2, 4, 7, 1, 6, 2, 5, 9, 1, 6, 6, 8, 5, 4, 5, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 3, 9, 4, 8, 0, 4, 9, 4, 7, 0, 7, 9, 1, 1, 9, 1, 5, 3, 2, 6, 7, 3, 4, 3, 0, 2, 8, 2, 4, 4, 1, 8, 6, 0, 4, 1, 4, 2, 6, 3, 6, 3, 9, 5, 4, 8, 0, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 2, 6, 7, 0, 4, 9, 6, 2, 4, 8, 2, 0, 1, 7, 9, 2, 8, 9, 6, 4, 7, 6, 6, 9, 7, 5, 8, 3, 1, 8, 3, 2, 7, 1, 3, 1, 4, 2, 5, 1, 7, 0, 2, 9, 6, 9, 2, 3, 4, 8, 8, 9, 6, 2, 7, 6, 6, 8, 4, 4, 0, 3, 2, 3, 2, 6, 0, 9, 2, 7, 5, 2, 4, 9, 6, 0, 3, 5, 7, 9, 9, 6, 4, 6, 9, 2, 5, 6, 5, 0, 4, 9, 3, 6, 8, 1, 8, 3, 6, 0, 9, 0, 0, 3, 2, 3, 8, 0, 9, 2, 9, 3, 4, 5, 9, 5, 8, 8, 9, 7, 0, 6, 9, 5, 3, 6, 5, 3, 4, 9, 4, 0, 6, 0, 3, 4, 0, 2, 1, 6, 6, 5, 4, 4, 3, 7, 5, 5, 8, 9, 0, 0, 4, 5, 6, 3, 2, 8, 8, 2, 2, 5, 0, 5, 4, 5, 2, 5, 5, 6, 4, 0, 5, 6, 4, 4, 8, 2, 4, 6, 5, 1, 5, 1, 8, 7, 5, 4, 7, 1, 1, 9, 6, 2, 1, 8, 4, 4, 3, 9, 6, 5, 8, 2, 5, 3, 3, 7, 5, 4, 3, 8, 8, 5, 6, 9, 0, 9, 4, 1, 1, 3, 0, 3, 1, 5, 0, 9, 5, 2, 6, 1, 7, 9, 3, 7, 8, 0, 0, 2, 9, 7, 4, 1, 2, 0, 7, 6, 6, 5, 1, 4, 7, 9, 3, 9, 4, 2, 5, 9, 0, 2, 9, 8, 9, 6, 9, 5, 9, 4, 6, 9, 9, 5, 5, 6, 5, 7, 6, 1, 2, 1, 8, 6, 5, 6, 1, 9, 6, 7, 3, 3, 7, 8, 6, 2, 3, 6, 2, 5, 6, 1, 2, 5, 2, 1, 6, 3, 2, 0, 8, 6, 2, 8, 6, 9, 2, 2, 2, 1, 0, 3, 2, 7, 4, 8, 8, 9, 2, 1, 8, 6, 5, 4, 3, 6, 4, 8, 0, 2, 2, 9, 6, 7, 8, 0, 7, 0, 5, 7, 6, 5, 6, 1, 5, 1, 4, 4, 6, 3, 2, 0, 4, 6, 9, 2, 7, 9, 0, 6, 8, 2, 1, 2, 0, 7, 3, 8, 8, 3, 7, 7, 8, 1, 4, 2, 3, 3, 5, 6, 2, 8, 2, 3, 6, 0, 8, 9, 6, 3, 2, 0, 8, 0, 6, 8, 2, 2, 2, 4, 6, 8, 0, 1, 2, 2, 4, 8, 2, 6, 1, 1, 7, 7, 1, 8, 5, 8, 9, 6, 3, 8, 1, 4, 0, 9, 1, 8, 3, 9, 0, 3, 6, 7, 3, 6, 7, 2, 2, 2, 0, 8, 8, 8, 3, 2, 1, 5, 1, 3, 7, 5, 5, 6, 0, 0, 3, 7, 2, 7, 9, 8, 3, 9, 4, 0, 0, 4, 1, 5, 2, 9, 7, 0, 0, 2, 8, 7, 8, 3, 0, 7, 6, 6, 7, 0, 9, 4, 4, 4, 7, 4, 5, 6, 0, 1, 3, 4, 5, 5, 6, 4, 1, 7, 2, 5, 4, 3, 7, 0, 9, 0, 6, 9, 7, 9, 3, 9, 6, 1, 2, 2, 5, 7, 1, 4, 2, 9, 8, 9, 4, 6, 7, 1, 5, 4, 3, 5, 7, 8, 4, 6, 8, 7, 8, 8, 6, 1, 4, 4, 4, 5, 8, 1, 2, 3, 1, 4, 5, 9, 3, 5, 7, 1, 9, 8, 4, 9, 2, 2, 5, 2, 8, 4, 7, 1, 6, 0, 5, 0, 4, 9, 2, 2, 1, 2, 4, 2, 4, 7, 0, 1, 4, 1, 2, 1, 4, 7, 8, 0, 5, 7, 3, 4, 5, 5, 1, 0, 5, 0, 0, 8, 0, 1, 9, 0, 8, 6, 9, 9, 6, 0, 3, 3, 0, 2, 7, 6, 3, 4, 7, 8, 7, 0, 8, 1, 0, 8, 1, 7, 5, 4, 5, 0, 1, 1, 9, 3, 0, 7, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 9, 0, 8, 6, 6, 3, 9, 3, 8, 3, 3, 9, 5, 2, 9, 4, 2, 5, 7, 8, 6, 9, 0, 5, 0, 7, 6, 4, 3, 1, 0, 0, 6, 3, 8, 3, 5, 1, 9, 8, 3, 4, 3, 8, 9, 3, 4, 1, 5, 9, 6, 1, 3, 1, 8, 5, 4, 3, 4, 7, 5, 4, 6, 4, 9, 5, 5, 6, 9, 7, 8, 1, 0, 3, 8, 2, 9, 3, 0, 9, 7, 1, 6, 4, 6, 5, 1, 4, 3, 8, 4, 0, 7, 0, 0, 7, 0, 7, 3, 6, 0, 4, 1, 1, 2, 3, 7, 3, 5, 9, 9, 8, 4, 3, 4, 5, 2, 2, 5, 1, 6, 1, 0, 5, 0, 7, 0, 2, 7, 0, 5, 6, 2, 3, 5, 2, 6, 6, 0, 1, 2, 7, 6, 4, 8, 4, 8, 3, 0, 8, 4, 0, 7, 6, 1, 1, 8, 3, 0, 1, 3, 0, 5, 2, 7, 9, 3, 2, 0, 5, 4, 2, 7, 4, 6, 2, 8, 6, 5, 4, 0, 3, 6, 0, 3, 6, 7, 4, 5, 3, 2, 8, 6, 5, 1, 0, 5, 7, 0, 6, 5, 8, 7, 4, 8, 8, 2, 2, 5, 6, 9, 8, 1, 5, 7, 9, 3, 6, 7, 8, 9, 7, 6, 6, 9, 7, 4, 2, 2, 0, 5, 7, 5, 0, 5, 9, 6, 8, 3, 4, 4, 0, 8, 6, 9, 7, 3, 5, 0, 2, 0, 1, 4, 1, 0, 2, 0, 6, 7, 2, 3, 5, 8, 5, 0, 2, 0, 0, 7, 2, 4, 5, 2, 2, 5, 6, 3, 2, 6, 5, 1, 3, 4, 1, 0, 5, 5, 9, 2, 4, 0, 1, 9, 0, 2, 7, 4, 2, 1, 6, 2, 4, 8, 4, 3, 9, 1, 4, 0, 3, 5, 9, 9, 8, 9, 5, 3, 5, 3, 9, 4, 5, 9, 0, 9, 4, 4, 0, 7, 0, 4, 6, 9, 1, 2, 0, 9, 1, 4, 0, 9, 3, 8, 7, 0, 0, 1, 2, 6, 4, 5, 6, 0, 0, 1, 6, 2, 3, 7, 4, 2, 8, 8, 0, 2, 1, 0, 9, 2, 7, 6, 4, 5, 7, 9, 3, 1, 0, 6, 5, 7, 9, 2, 2, 9, 5, 5, 2, 4, 9, 8, 8, 7, 2, 7, 5, 8, 4, 6, 1, 0, 1, 2, 6, 4, 8, 3, 6, 9, 9, 9, 8, 9, 2, 2, 5, 6, 9, 5, 9, 6, 8, 8, 1, 5, 9, 2, 0, 5, 6, 0, 0, 1, 0, 1, 6, 5, 5, 2, 5, 6, 3, 7, 5, 6, 7, 8] ;

On veut voir si la répartition de ces décimales est bien uniforme sur les chiffres de 0 à 9.

D'une part, concernant la loi uniforme, on utilise la fonction f de répartition de la loi uniforme sur 0,...9 :  
pour k un entier entre 0 et 9,  on a
f (k) = P(X <= k) = P(X=0) + ... + P(x=k) = 1/10  + ....+ 1/10 = (k+1)/10

D'autre part, concernant la liste des décimales, on regarde la proportion des décimales inférieures à un entier k :
pour k un entier entre 0 et 9, on a
g (k) = (nombre de fois qu'on obtient une décimale <= k )  / 10^4

En maple :
Code:

f := k -> add( 1/10. , i=0..k) ;
g := k -> nops( select( z -> z <= k, decimales)) / 10^4. ;

Enfin, on compare f(k) et g(k) pour les entiers k allant de 0 à 9
Code:

with(plots):
display(
  plot([seq([ k , f( k ) ], k=0..9)], color=red, style=point),
  plot([seq([ k , g( k ) ], k=0..9)], color=black, style=point)
);
on voit qu'elles sont très très proches, suffisamment pour conclure que la répartition des décimales de Pi est bien conforme à celle de la loi testée, c'est-à-dire uniforme.

Dattier, j'ai mis le code Maple pour que tu puisses l'exécuter chez toi en faisant des copier/coller.

Si tu confirmes que tout c'est bien passé de ton coté avec cette première analyse , on passe à la seconde (loi binomiale).
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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par Dlzlogic le Jeu 31 Aoû - 21:43

Oui, Léon, c'est bien joué.
Tu vérifies que "la moyenne des caractères de la liste concernée" fait environ 4.5, c'est à dire que la somme du caractère 0 et du caractère 9, divisé par 2 fait 4.5. Bon, il faudra tout de même expliquer qu'on peux faire des opération arithmétiques avec des caractères, c'est assez nouveau, comment ferais-tu si cette liste était en hexadécimal ?
Bon, admettons, donc la suite des caractères suit une loi uniforme, c'est à dire que aucun caractère n'est privilégié. Tu le vérifié, mais il serait intéressant de le démontrer théoriquement. Je sais, c'est pas difficile, encore faut-il le faire.
Maintenant, le problème évoqué est "quelle est la répartition des évènements qui suivent aléatoirement la même loi ?".
J'ai expliqué la réponse à cette question, maintenant c'est à toi d'éclairer Dattier.

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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par leon1789 le Jeu 31 Aoû - 22:00

Dlzlogic a écrit:Bon, admettons, donc la suite des caractères suit une loi uniforme, c'est à dire que aucun caractère n'est privilégié.
sunny oui, voilà, on avance ! la série des 10000 décimales de Pi a une répartition uniforme sur 0,...,9 .

Dlzlogic a écrit: Tu le vérifié, mais il serait intéressant de le démontrer théoriquement.
Je sais, c'est pas difficile, encore faut-il le faire.
Démontrer mathématiquement que toutes les décimales de pi sont distribuées de manière uniforme sur 0,...,9 est très compliqué, je pense. En tout cas,  je ne sais pas faire.

Dlzlogic a écrit: maintenant c'est à toi d'éclairer Dattier.
oui, mais j'attends qu'il soit ok sur la première analyse. La seconde est exactement du même genre... mais avec une autre liste analysée et une autre loi de probabilité testée.
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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par Dattier le Jeu 31 Aoû - 22:09

@Léon : oui effectivement les points sont quasiments confonus.

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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par leon1789 le Jeu 31 Aoû - 22:28

ok, alors maintenant , avec EXACTEMENT le même principe d'analyse,
on va regarder le nombre d'occurrences de chaque chiffre, à savoir respectivement pour les chiffres de 0 à 9 :
Code:

occurrences := [seq( nops( select( z -> z = k, decimales)), k=0..9) ] ;
occurrences :=  [968, 1026, 1021, 974, 1012, 1046, 1021, 970, 948, 1014] ;

On veut voir si la répartition de ces occurrences est bien conforme à la loi binomiale B(n , p) avec n = 10^4 et p = 1/10

D'une part, concernant la loi binomiale, on utilise la fonction f de répartition de la loi binomiale sur 0,...10^4 :  
pour k un entier entre 0 et 10^4,  on a
f (k) = P(X <= k) = P(X=0) + ... + P(x=k)

où P(X=i) = binomial(n,i) * p^i * (1-p)^(n-i)

Code:

n := 10^4 ; p := 0.1 ;
f := k -> add( binomial(n,i)* p^i * (1-p)^(n-i) , i=0..k) ;

D'autre part, concernant la liste des occurrences, on regarde la proportion des occurrences inférieures à un entier k :
pour k un entier entre 0 et 10^4, on a
g (k) = (nombre de fois qu'on obtient une occurrence <= k )  / 10

Code:

g := k -> nops( select( z -> z <= k, occurrences)) / 10. ;

Enfin, on compare f(k) et g(k) pour les entiers k allant de 900 à 1100 (c'est inutile en deça de 900 et inutile au delà de 1100) :
Code:

with(plots):
display(
  plot([seq([ k , f( k ) ], k=900..1100)], color=red, style=point),
  plot([seq([ k , g( k ) ], k=900..1100)], color=black, style=point)
);
(c'est un peu long... le code n'est pas du tout optimisé )
Bon, les points noirs sont aux alentours des points rouges.  La répartition des occurrences des chiffres de 0 à 9 suit à peu près celle de la loi testée, c'est-à-dire binomiale.

Enfin, la courbe rouge (fonction de répartition de la loi binomiale B(n,p) ) est très proche de la fonction de répartition de la loi normale d'espérance n.p = 1000 et d'écart-type ( n.p.(1-p) )^0.5 = 30 .
Cette dernière phrase est la première version (historiquement parlant) du TCL .
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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par nuage: le Jeu 31 Aoû - 23:05

Ah !
De vieux souvenirs me reviennent.

Je me souviens du mauvais vieux temps où, sur math-forum, Dzlogic expliquait que, d'après le TCL, quand on tire au hasard entre deux événements de même probabilité, la différence entre les nombres d’apparitions de chacun d'eux temps vers zéro quand le nombre de tirages augmente.

Il a appris deux ou trois choses depuis.
Ce qui me rend optimiste, quand il aura mille ans Dzlogic comprendra les statistiques presque aussi bien qu'un élève médiocre de terminale.

En attendant, il faut remarquer que, si les chiffres ne sont que des dessins, ces dessins désignent des nombres.
Et qu'il est donc légitime d'écrire 2+3=5. Bien que, si l'on considère des chaînes de caractères, "2"+"3"="23".

Sinon je reste admiratif devant la malhonnêteté de Dzlogic.

Il n'y a pas si longtemps, il soutenait que les décimales de pi suivent une loi normale.

Puis que les écarts à la moyenne des décimales de pi suivent une loi normale.

Et maintenant il dit que les décimales de pi ne sont que des symboles sans signification.

On ne peut qu'applaudir devant une telle mauvaise foi.
C'est vraiment un modèle pour tous les trolls.

nuage:

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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par leon1789 le Ven 1 Sep - 8:07

Bonjour

Coté souvenir, cela me rappelle la même discussion datant de 2 ans, pas sur le nombre Pi, mais sur le nombre d'or.
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?pid=58596#p58596

J'avais fait des (beaux  cyclops ) graphiques avec les fonctions de répartition , mais je ne les retrouve pas. Tant pis.

2 ans pour un truc aussi simple... Que de temps perdu...
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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par Dlzlogic le Ven 1 Sep - 12:27

Bonjour,
@ Nuage, Oui tu t'y connais en matière de malhonnêteté, non seulement verbale (il faut tout de même en avoir une certaine dose pour traiter quelqu'un qui explique des notions que l'on ne comprend pas de "incompétent sénile") mais aussi professionnelle (je parle de mathématiques : sortir une fonction "miracle" pour contrer la simulation d'un matheux honnête, je parle de Le_Jeu naturellement. Pour le reste, je n'ai jamais vu de ta part ni démonstration ni même simulation. Si je me trompe, merci de me rafraichir la mémoire (il s'agit naturellement de sujets auxquels j'ai participé).
Nuage a écrit:Il n'y a pas si longtemps, il soutenait que les décimales de pi suivent une loi normale.

Puis que les écarts à la moyenne des décimales de pi suivent une loi normale.

Et maintenant il dit que les décimales de pi ne sont que des symboles sans signification.
J'ai toujours dit la même chose. Si il m'est arrivé d'être un peu imprécis ou trop rapide dans ma rédaction, merci de citer la dite rédaction. Je rectifierai volontiers.

@ Léon, tu abandonnes ton explication à Dattier.
Je rappelle que les chiffres qui constituent les décimales de pi ont été choisis à titre d'exemple. O9n ne l'a pas démontré, mais intuitivement et personne n'a dit le contraire, on considère qu'ils suivent la même loi, donc on est dans le cadre de vérification du TCL.
Le TCL parle de "loi normale", toi, de "loi binomiale", j'avoue ne pas comprendre et certainement Dattier non plus. Que vient faire la loi binomiale ? A toi de l'expliquer.

Concernant la citation chez Bibmath, tu sais que je n'y ai plus accès donc, je ne sais même pas de quoi tu parles.

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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par leon1789 le Ven 1 Sep - 12:55

Dlzlogic a écrit:@ Léon, tu abandonnes ton explication à Dattier.
confused qu'est-ce que tu racontes ??

Dlzlogic a écrit:Le TCL parle de "loi normale", toi, de "loi binomiale", j'avoue ne pas comprendre et certainement Dattier non plus.
que tu ne comprennes pas ne m'étonne pas...

Apparemment, tu ne comprends même pas la première version du TCL (théorème de Moivre-Laplace) qui dit que
la loi binomiale B(n,p) est approchée par la loi normale N(np, np(1-p) ).

C'est exactement la planche de Galton !


Dattier est assez grand pour poser des questions.

Dlzlogic a écrit:Que vient faire la loi binomiale ? A toi de l'expliquer.
Connais-tu la loi binomiale ? as-tu un exemple où elle s'applique ?
Si tu réponds non, alors tu n'as qu'à prendre le livre de J.H. ou ton cours de Levallois : ils en parlent ! (... pour introduire ensuite la loi normale)
tu as aussi le web entier pour te documenter.
 
Dlzlogic a écrit:Concernant la citation chez Bibmath, tu sais que je n'y ai plus accès donc, je ne sais même pas de quoi tu parles.
ne pas y avoir accès en tant que membre n'empêche absolument pas de lire les pages du forum !
A l'évidence, tu fais preuve de manque de bonne volonté
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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par Dlzlogic le Ven 1 Sep - 14:24

Léon a écrit:ne pas y avoir accès en tant que membre n'empêche absolument pas de lire les pages du forum !
A l'évidence, tu fais preuve de manque de bonne volonté
Ben non, je t'assure, avec tout la bonne volonté qu'on veut, avec ton lien, j'arrive sur la page qui me précise que je suis banni. Bref, le forum sympa.
Si tu veux une preuve, je peux faire une copie d'écran.
En fait, je soupçonne ce forum de me bloquer à partir de mon adresse IP.

Bon, en conclusion, l'exemple des décimales de pi constitue-t-il une vérification du TCL ou pas ? C'est la question posée.

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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par Dattier le Ven 1 Sep - 14:44

Salut,

@Léon : j'ai éxécuté le code, mais maintenant j'aimerais comprendre pourquoi (est-ce que cela suivrait une loi binomiale) ?

Merci.

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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par leon1789 le Ven 1 Sep - 14:59

Dlzlogic a écrit:
Léon a écrit:ne pas y avoir accès en tant que membre n'empêche absolument pas de lire les pages du forum !
A l'évidence, tu fais preuve de manque de bonne volonté
Ben non, je t'assure, avec tout la bonne volonté qu'on veut, avec ton lien, j'arrive sur la page qui me précise que je suis banni.
C'est probablement que tu cherches à te connecter...
De mon coté, sans même me connecter avec mon pseudo, donc de manière "touristique", je peux lire la page pointée.

Dlzlogic a écrit:
Si tu veux une preuve, je peux faire une copie d'écran.
En fait, je soupçonne ce forum de me bloquer à partir de mon adresse IP.  
ah, ce serait plus ennuyeux.
Mais ton fournisseur d'accès internet ne change pas ton adresse IP de temps en temps ?

Dlzlogic a écrit:Bon, en conclusion, l'exemple des décimales de pi constitue-t-il une vérification du TCL ou pas ?
Pour appliquer le TCL, il faut un certain nombres de variables X_i qui suivent une même loi et faire leur somme.

Avec les décimales de Pi, je vois au moins deux manière d'appliquer le TCL :

la première est expliquée ici : http://dattier.yoo7.com/t125p125-intervension-bizarre-a-propos-de-la-loi-normale#1171
comptage sur 10000 décimales = somme de 10000 variables X_i de Bernoulli B(p) = loi binomiale B( 10000, 1/10) , et puis loi normale d'espérance 1000 et d'écart-type 30 (TCL)

et une seconde totalement différente :
grouper les décimales en 50 paquets de 200 décimales (X_i = i-ème décimale) , calculer les 50 moyennes de ces 50 paquets, et puis voir que ces 50 moyennes suivent une loi normale N de d'espérance 4.5 et d'écart-type ( 33/800 )^0.5 (TCL)


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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par leon1789 le Ven 1 Sep - 15:16

Dattier a écrit:Salut,

@Léon : j'ai éxécuté le code, mais maintenant j'aimerais comprendre pourquoi (est-ce que cela suivrait une loi binomiale) ?

Merci.

Là, il faut rentrer un peu dans le détail pour comprendre. Mais cela reste simple tout de même.

Fixons nous un chiffre C (n'importe lequel entre 0 et 9).
Que fait-t-on réellement quand on compte le nombre de fois que C apparaît dans les 10 000 décimales de PI ?
Et bien, on fait une somme de 10 000 variables valant chacune 0 ou 1 :
en effet, pour i allant de 1 à 10 000, on définit X_i valant 1 si la i-ème décimale de PI vaut C et valant 0 sinon.

Ainsi, S = X_1 + X_2 + ... + X_10000 = nombre de fois que le chiffre C apparaît dans les 10 000 décimales.
Voilà donc une somme !

Comme on l'a vérifié avec la première simulation http://dattier.yoo7.com/t125p125-intervension-bizarre-a-propos-de-la-loi-normale#1166 ,
chaque X_i suit une loi de Bernoulli B(p) avec p = 1/10 , c'est-à-dire que X_i = 1 avec une probabilité de p=1/10 , et sinon X_i = 0
Ainsi toutes les variables X_i suivent la même loi de probabilité.

Enfin, la loi de probabilité suivie par S est la loi binomiale B(n, p)  car S est la somme n=10 000 variables aléatoires "indépendantes" suivant la même loi B(p).
Cela signifie que, pour tout entier k compris entre 0 et 10 000, on a P( S = k) = binomial(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k) .

Bref, le nombre d'occurrences du chiffre C dans les décimales suit la loi binomiale B(n,p). Et cela, quel que soit le chiffre C choisi.

OK pour toi ?
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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par Dattier le Ven 1 Sep - 15:38

@Léon : Ok, en divisant S par N (le nombre total de chiffre) on obtient p (la loi des grands nombres) (on retombe sur notre loi uniforme) mais en ne divisant pas par N, la somme se distribue selon une loi binomiale, et on a affinement de l'approximation que donne la loi des grands nombres.

En fait est-ce que l'on ne peut pas rétinterprétait toutes les probas, en terme de combinatoires ?
Si cela existe déjà, peux-tu me donner une référence ?

Merci, encore.

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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par leon1789 le Ven 1 Sep - 15:48

Dattier a écrit:@Léon : Ok, en divisant S par N (le nombre total de chiffre) on obtient p (la loi des grands nombres)
oui S/N tends vers p quand N tend vers l'infini (et S aussi par conséquent).

Dattier a écrit:et on a affinement de l'approximation que donne la loi des grands nombres.
j'ai pas compris ce que tu voulais dire par là.

Dattier a écrit:En fait est-ce que l'on ne peut pas rétinterprétait toutes les probas, en terme de combinatoires ?
Quand il y a un ensemble fini (voir dénombrable), sûrement oui.
Mais quand l'ensemble des issues possibles est continu (l'ensemble de réels par exemple), cela me paraît plus compliqué. Ou alors, dans le cas continu, on fait de la combinatoire discrète (discrétisation) et on passe à des limites (pour repasser au continu)...
Mais ce n'est pas clair pour moi, je ne suis pas spécialiste des probas.
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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par Dlzlogic le Ven 1 Sep - 16:03

Léon a écrit:Quand il y a un ensemble fini (voir dénombrable), sûrement oui.
Mais quand l'ensemble des issues possibles est continu (l'ensemble de réels par exemple), cela me paraît plus compliqué. Ou alors, dans le cas continu, on fait de la combinatoire discrète (discrétisation) et on passe à des limites (pour repasser au continu)...
Mais ce n'est pas clair pour moi, je ne suis pas spécialiste des probas.
C'est un aveu ?

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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par leon1789 le Ven 1 Sep - 16:26

Dlzlogic a écrit:
C'est un aveu ?
Je n'ai jamais dit que j'étais un spécialiste des probas (j'entends par là que je n'ai pas de spécialisation bac+5+8 en proba dans mes études de mathématiques). Cela dit, je confirme que je connais quelques petites choses en probas-stats de niveau post bac.

En revanche, j'en connais un qui a affirmé à plusieurs reprises qu'il savait des choses en probas ignorées des meilleurs matheux.
Ce qui d'une part est assez absurde et vaniteux de sa part, mais surtout hilarant quand on sait que cette personne n'a pas le niveau de Terminale S...
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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par Dattier le Ven 1 Sep - 18:05

Dattier a écrit:on a affinement de l'approximation que donne la loi des grands nombres.
C'est vrai que c'est trés mal dit, je voulais dire : que le TCL est un affinement de la loi des grands nombres.
leon1789 a écrit:Mais ce n'est pas clair pour moi, je ne suis pas spécialiste des probas.
Pourtant, j'avais lu un message de toi où tu sous-entendais que ton labo (de stat je suppose) était venu te recruter, je suis sûr d'avoir lu un message de ce style, mais je ne le retrouve plus.

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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par leon1789 le Ven 1 Sep - 18:38

Dattier a écrit:Pourtant, j'avais lu un message de toi où tu sous-entendais que ton labo (de stat je suppose) était venu te recruter,
oui, ce message existe bien : http://dattier.yoo7.com/t125p75-intervension-bizarre-a-propos-de-la-loi-normale#1116

Mon labo a plusieurs spécialités (c'est normal pour un labo), dont les probas, c'est vrai. Il m'a effectivement recruté (c'est vrai Smile ), pas dans la spécialité proba-stats, mais dans une autre.
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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par Dattier le Ven 1 Sep - 20:20

leon1789 a écrit:Mon labo a plusieurs spécialités (c'est normal pour un labo), dont les probas, c'est vrai. Il m'a effectivement recruté (c'est vrai Smile ), pas dans la spécialité proba-stats, mais dans une autre.

C'est l'arithmétique (géométrie algébrique), non ?

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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par leon1789 le Ven 1 Sep - 20:30

il y a de ça en effet, mais pas tout à fait Smile
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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par Dattier le Ven 1 Sep - 20:57


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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par Dlzlogic le Ven 1 Sep - 21:44

Bonsoir,
Tiens, on parle de géométrie, pardon, c'est hors-sujet, mais quand on parle de compétences j'ai le droit de participer.
Donc ma question, soit deux figures directement semblables, peut-on passer de l'une à l'autre par une homothétie-rotation, ou faut-il aussi une translation ?

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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par leon1789 le Sam 2 Sep - 8:04

Bonjour

Dattier,
ton exercice d'algèbre n'a pas l'air facile, en tout cas, cela me demanderait des efforts.

Dlzlogic,
ta question de géométrie est triviale : si (dans un plan affine) tes deux figures semblables sont translatées l'une de l'autre, alors elles sont translatées l'une de l'autre...
on peut obtenir toute translation en composant deux rotations d'angles opposés, pas avec une seule homothétie-rotation.

Mais là, en effet, on est loin du sujet de la discussion !
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Re: Intervension bizarre à propos de la loi normale.

Message par Dlzlogic le Sam 2 Sep - 11:53

Bonjour Léon,
Je ne vois pas très bien comment deux figures semblables pourraient être translatées l'une de l'autre. En général deux figures semblables ne sont pas isométriques.
Soit ma question est mal posée, soit on peut se demander si tu comprends réellement ce dont on parle, en particulier dans le présent sujet loi normale, TCL, probabilités etc. Evidemment cette question de géométrie n'était pas posée par hasard.

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